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	<title>The Event Horizons</title>
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		<title>Comment Construire un Hôte ? Episode I</title>
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		<dc:creator><![CDATA[admin]]></dc:creator>
		<pubDate>Tue, 02 Jan 2024 13:24:00 +0000</pubDate>
				<category><![CDATA[Intelligence Artificielle]]></category>
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					<description><![CDATA[<p>En l'an 2051, un groupe chanceux de jeunes scientifiques se voit accorder l'opportunité exclusive d'explorer les mystères de WestWorld. Leur voyage en coulisses prend une tournure extraordinaire lorsqu'ils sont invités à une conférence unique orchestrée par le mystérieux directeur du parc, le Dr. Ford. Au cœur de cette rencontre se trouve une plongée captivante dans le domaine de l'Apprentissage Profond, offrant aux participants une expérience sans précédent et dévoilant les secrets de la symbiose entre la technologie de pointe et l'imagination audacieuse de WestWorld.</p>
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									<span class="elementor-button-text">	Intelligence Artificielle</span>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Par Jordan Moles le 2 Janvier, 2024</h2>				</div>
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									<p style="text-align: center;"><strong><br />En l&rsquo;an 2051, un groupe de jeunes scientifiques chanceux se voit offrir l&rsquo;opportunité exclusive d&rsquo;explorer les arcanes de WestWorld. Leur voyage dans les coulisses prend une tournure exceptionnelle alors qu&rsquo;ils sont conviés à une conférence unique, orchestrée par le directeur énigmatique du parc, le Dr. Ford. Au cœur de cette rencontre, une plongée fascinante dans le monde du Deep Learning réserve aux participants une expérience inédite, dévoilant les secrets de la symbiose entre la technologie de pointe et l&rsquo;imagination audacieuse de WestWorld.</strong></p>								</div>
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									<p>Bienvenue, esprits novateurs, dans WestWorld, un parc d&rsquo;attractions révolutionnaire où l&rsquo;innovation technologique et l&rsquo;audace artistique fusionnent pour créer une expérience immersive sans précédent. Je suis le Dr.Ford et en tant que Directeur de ce parc d&rsquo;un genre nouveau, je suis ici pour vous dévoiler les rudiments computationels et la vision mathématique qui sous-tendent ce projet extraordinaire.</p>								</div>
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									<p>Notre ambition va bien au-delà d&rsquo;une simple récréation de l&rsquo;Ouest sauvage. WestWorld repousse les limites de l&rsquo;imagination en introduisant des hôtes, des androïdes d&rsquo;une sophistication inégalée, capables d&rsquo;interagir de manière indiscernable avec nos visiteurs. Ce n&rsquo;est pas simplement un divertissement ; c&rsquo;est une exploration des recoins les plus profonds de l&rsquo;intelligence artificielle: le <strong>Deep Learning</strong>.</p><p>Au cœur de ce paradis forgé par la technologie, notre quête vise à repousser sans cesse les frontières du possible. Nos hôtes ne se bornent pas à reproduire des actions préprogrammées ; ils réagissent, apprennent et évoluent en temps réel. Nourris pendant des années par une imposante base de données, nous les avons entraînés, validés et soumis à des tests (apprentissage supervisé), assurant ainsi qu&rsquo;ils offrent une expérience unique et aient la capacité d&rsquo;apprendre de manière autonome par la suite. </p><p>Les réseaux de neurones qui les alimentent, s&rsquo;inspirant de la complexité du cerveau humain, les dotaient de la polyvalence nécessaire pour accomplir une variété de tâches, de la conduite d&rsquo;une charrette à la montée à cheval, de la lecture à l&rsquo;écriture, de la reconnaissance de leurs semblables à l&rsquo;expression de l&#8217;empathie via la reconnaissance d&rsquo;émotions. Cette union sublime entre la machine et la pensée humaine va bien au-delà des modèles classiques de Machine Learning tels que les K-Nearest Neighbors, les arbres de décision ou les machines à vecteurs de support. Chaque interaction avec un visiteur représente une occasion d&rsquo;affiner leurs compétences cognitives (apprentissage non supervisé), offrant ainsi une expérience unique à chaque instant, même si cet aspect ne sera pas exploré dans cette conférence.</p>								</div>
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									Chez WestWorld, notre vocation ne se limite pas à offrir de simples divertissements ; nous faisons naître des univers virtuels qui transcendent la réalité. Pour des esprits éclairés tels que les vôtres, acteurs éminents de cette entreprise, c&rsquo;est une expédition aux confins de la technologie et de l&rsquo;humanité, une fusion entre la créativité artistique et la puissance de calcul avancée. Notre objectif aujourd&rsquo;hui est de vous initier aux concepts fondamentaux des réseaux de neurones en présentant le perceptron multicouche et en vous dévoilant le processus par lequel nos hôtes apprennent à reconnaître des chiffres. Dans une prochaine conférence, nous explorerons en détail comment ils parviennent à identifier d&rsquo;autres individus. Préparez-vous à plonger dans une aventure où la ligne entre l&rsquo;homme et la machine s&rsquo;estompe, ouvrant des horizons aussi vastes que l&rsquo;imagination elle-même.								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large">Au Commencement: Le neurone biologique</h2>				</div>
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									<p>Au nombre d&rsquo;environ 86 milliards et connectées par des milliers voire des dizaines de milliers de synapses, ces cellules hautement spécialisées, inscrites dans notre patrimoine génétique depuis des milliards d&rsquo;années, sont appelées neurones.</p><p>Assemblés en réseau, ces neurones que nous qualifions de « biologiques » par opposition à « artificiels » génèrent la pensée humaine et ce que nous qualifions d&rsquo;intelligence. Cependant, ils ne sont pas les seules cellules cérébrales en action. D&rsquo;autres types cellulaires jouent un rôle fondamental et contribuent au processus neuronal, leur présence essentielle étant indispensable à l&rsquo;existence même des neurones.</p>								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-medium">Sa Structure</h2>				</div>
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									La structure fondamentale du système nerveux, constituée de cellules excitables interconnectées, joue un rôle crucial dans la transmission des informations au sein de notre réseau neuronal. Elle se compose de plusieurs composants clés qui orchestrent sa fonction.								</div>
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									<p><strong>Les dendrites</strong> agissent comme des interfaces avec l&rsquo;environnement, formant l&rsquo;entrée du neurone. En grand nombre, ces prolongements réagissent à divers stimuli, tels que la lumière au niveau des yeux ou la pression sur la peau, générant des décharges électriques, également appelées potentiels d&rsquo;action, dirigées vers le corps cellulaire. La synapse, point de connexion entre les neurones, joue un rôle essentiel à cet endroit, où le neurone reçoit des signaux des neurones précédents ou de l&rsquo;extérieur. Ces signaux, qu&rsquo;ils soient inhibiteurs ou excitateurs (+1 ou -1), convergent vers le neurone, et lorsque leur somme dépasse un seuil critique, le neurone s&rsquo;active, produisant ainsi un signal électrique.</p>								</div>
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									<p><strong>Le corps cellulaire</strong>, central dans le processus, effectue une sommation de l&rsquo;intensité des influx électriques provenant de toutes les dendrites. Si cette somme dépasse un seuil critique, le neurone s&rsquo;active et génère une décharge électrique transmise à l&rsquo;axone, la voie de sortie unique du neurone. Ce seuil critique, déterminant l&rsquo;excitation supra-liminaire, revêt une importance cruciale.</p>								</div>
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									<p><strong>L&rsquo;axone</strong>, en tant que voie finale commune, se ramifie en multiples extensions, connectant le neurone à d&rsquo;autres neurones par le biais des dendrites et des synapses suivants. Ces points de connexion, représentés anatomiquement comme des fentes synaptiques, sont essentiels pour le transfert d&rsquo;informations entre les neurones. La terminaison de l&rsquo;axone, marquée par des vésicules de neurotransmetteurs, libère ces messagers chimiques dans la fente synaptique. En retour, la dendrite du neurone suivant, équipée de récepteurs, fixe les neurotransmetteurs, déclenchant ainsi la formation d&rsquo;un courant électrique au niveau de la dendrite.</p>								</div>
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									<p><strong>Le message</strong> En ce qui concerne l&rsquo;information transmise par le neurone, il est crucial de comprendre son dualisme électrochimique. Initialement créée sous forme électrique au niveau des dendrites en réponse à un stimulus, l&rsquo;information se propage à travers le corps cellulaire vers l&rsquo;axone. À la terminaison de celui-ci, l&rsquo;influx électrique déclenche la libération de neurotransmetteurs, transformant l&rsquo;information en une forme chimique à la synapse.</p>								</div>
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									Il est important de souligner que cette information ne circule que dans une direction précise, des dendrites vers l&rsquo;axone. La dendrite capte le signal, et l&rsquo;axone le diffuse, créant ainsi une unidirectionnalité dans le flux de l&rsquo;information neuronale. Cette subtile danse électrochimique au sein du neurone forme le fondement de notre compréhension, de nos pensées, et de notre interaction avec le monde qui nous entoure.								</div>
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									<p>Pivot du système nerveux, il se révèle ainsi comme la cellule maîtresse capable de transmettre des signaux électrochimiques à travers tout l&rsquo;organisme. Ces signaux, résultant de dépolarisations de la membrane plasmique et de la libération de molécules chimiques aux points de connexion avec d&rsquo;autres cellules, forment le fondement de la neurotransmission.</p><p>Chaque neurone, dédié à des tâches spécifiques, contribue à un réseau complexe qui permet d&rsquo;accomplir des fonctions aussi diverses que la mémorisation, la motricité, la facilité d&rsquo;apprentissage ou encore la reconnaissance vocale etc.</p><p>La variété des neurones, reflétant la diversité des rôles qu&rsquo;ils remplissent, en fait les acteurs essentiels dans l&rsquo;orchestration complexe des fonctions du système nerveux. Ces cellules, par leurs prolongements, les dendrites et l&rsquo;axone, établissent des connexions vitales avec les organes innervés et d&rsquo;autres neurones, consolidant ainsi leur rôle central dans les fonctions du système nerveux.</p>								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large">Le Premier Neurone Artificiel de l'Histoire</h2>				</div>
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									<p>Chers auditeurs, il est maintenant opportun de vous présenter le célèbre neurone artificiel, un concept majeur en informatique inauguré par W. McCulloch et W. Pitt dès 1943, une époque déjà bien révolue. </p><p><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );">Bien que dépourvu de réalité physique,</span><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );"> ce remarquable élément offre une réplique algorithmique simple de son homologue biologique, marquant ainsi le début d&rsquo;une fascinante aventure dans le monde de l&rsquo;intelligence artificielle. </span></p>								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-medium">Sa Structure et son Fonctionnement</h2>				</div>
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									<p>La structure du neurone artificiel est caractérisée par plusieurs éléments clés, notamment l&rsquo;entrée et les poids synaptiques, le corps cellulaire, et la sortie. <span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Chacun de ces aspects contribue de manière cruciale au traitement de l&rsquo;information au sein des réseaux de neurones artificiels. Voyons tout cela en détail.</span></p>								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">On Recueille l'Information</h2>				</div>
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									<p>Commençons par l&rsquo;entrée. En informatique, l&rsquo;entrée représente les données à traiter, à l&rsquo;instar d&rsquo;une suite de caractère, d&rsquo;une image, de densité d&rsquo;or ou même de vidéo.</p>
<p>Chaque neurone artificiel reçoit un nombre variable d&rsquo;entrées provenant de neurones amonts que nous noterons <strong>X</strong>. Ces entrées sont les signaux qui activent le neurone et seront accompagnées de poids (représentés par « w » pour « weight ») qui quantifient la force de la connexion. </p>
<p>L&rsquo;ensemble de ces entrées forme la première étape du traitement de l&rsquo;information par le neurone artificiel.</p>								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Le Corps Cellulaire Artificiel: une Fonction Mathématique</h2>				</div>
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									<p><strong>La phase d&rsquo;agrégation</strong>. Des poids synaptiques, inspirés du fonctionnement des dendrites, sont attribués à chaque valeur d&rsquo;entrée représentant l&rsquo;importance relative des différentes connexions pour le neurone puis on somme les entrées ainsi pondérées en ajoutant un biais (une valeur constante). Pour le moment on considère seulement des poids synaptiques valant +1 (excitateur) ou -1 (inhibiteur) mais plus tard nous généraliserons.</p><p><strong>La phase d&rsquo;activation</strong>. Une fonction d&rsquo;activation détermine ensuite si le neurone doit être activé ou pas. On choisi d&rsquo;abord une fonction seuil (que l&rsquo;on nomme Heaviside), c&rsquo;est à dire une fonction qui retourne une sortie y=1 si la somme pondérées précédente dépasse une valeur seuil et 0 sinon (en voici une représentation).</p>								</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Les fonctions d&rsquo;activation sont cruciale dans le traitement de l&rsquo;information et peuvent prendre différentes formes, telles que la fonction seuil, la fonction sigmoïde (vous vous souvenez de la sigmoïde), la fonction de seuil rectifié linéaire (ReLU) ou même tangente hyperbolique.</span></p>								</div>
				</div>
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									<p>La sortie du neurone artificiel est le résultat final du traitement de l&rsquo;information contenu dans les données d&rsquo;entrée X soit y=0 (activé) soit y=1 (désactivé). Elle peut être transmise à d&rsquo;autres neurones, formant ainsi une chaîne complexe de calculs qui caractérise le fonctionnement global du réseau de neurones artificiels.</p>								</div>
				</div>
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		</div>
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									<p>Ce premier modèle de neurone artificiel a été ultérieurement désigné sous le nom de « Threshold Logic Unit » en raison de sa capacité à traiter uniquement des entrées logiques valant soit 0, soit 1. Ils ont réussi à démontrer que ce modèle était apte à reproduire certaines fonctions logiques telles que les portes ET et OU (respectivement <span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );">AND et </span><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">OR en anglais). De plus, en interconnectant plusieurs de ces fonctions de manière similaire aux connexions entre les neurones de notre cerveau, il semblait possible de résoudre pratiquement n&rsquo;importe quel problème de logique booléenne.</span></p><p>Malgré l&rsquo;engouement démesuré suscité par cette annonce, je tiens à vous assurer que, à l&rsquo;époque, une part significative communauté scientifique <span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">pensait que nous pourrions développer des intelligences artificielles capables de remplacer entièrement les êtres humains. </span></p><p>Scientifique de l&rsquo;audience en regardant les hôtes à côté du Dr. Ford: « Ils n&rsquo;avaient pas totalement tords ! » <em>Rires dans la salle</em>.</p><p>Dr Ford reprend avec le sourire: En effet, pas totalement, juste que leur échelle de temps n&rsquo;était pas adapté à cette annonce. Toujours est il que <span style="color: var( --e-global-color-text ); font-size: 15px;">cette anticipation ne s&rsquo;est pas concrétisée directement. Bien que ce modèle ait jeté les bases de ce qui est aujourd&rsquo;hui le Deep Learning, il présente plusieurs lacunes, notamment l&rsquo;absence d&rsquo;un algorithme d&rsquo;apprentissage. Ainsi, il revient à l&rsquo;utilisateur de déterminer manuellement les valeurs des paramètres « W » s&rsquo;il souhaite appliquer ce modèle à des applications du monde réel.</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-medium">Un Exemple Simple</h2>				</div>
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									<p>Normalement c&rsquo;est les bases, mais commençons par une explication succincte de l&rsquo;algèbre booléenne pour les deux scientifiques du fond.</p><p>L&rsquo;algèbre de Boole, nommée d&rsquo;après le mathématicien britannique George Boole, constitue une branche des mathématiques se focalisant sur la représentation et la manipulation de l&rsquo;information logique par le biais d&rsquo;opérations sur des variables appelées booléennes. Ces variables ne peuvent prendre que deux valeurs, généralement notées 0 et 1, symbolisant respectivement les états faux (non) et vrai (oui).</p><p>Largement utilisée en informatique, en électronique et dans d&rsquo;autres domaines liés au traitement de l&rsquo;information, l&rsquo;algèbre de Boole est fondamentale pour la conception des circuits logiques, des algorithmes, et elle sert de base à la logique propositionnelle.</p><p>Dans l&rsquo;algèbre de Boole, les opérations fondamentales sont l&rsquo;ET logique, le OU logique, et la négation logique (NOT). Ces opérations s&rsquo;appliquent à des paires de variables booléennes et produisent un résultat booléen.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Un Exemple dans un Exemple</h2>				</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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									<p>Maintenant, pour mieux comprendre ces opérations, prenons l&rsquo;exemple d&rsquo;une pièce avec un interrupteur A et un capteur B détectant la présence de personnes <span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );">contrôlant la lumière. </span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>Interrupteur A <strong>ET</strong> Capteur B (A <strong>ET</strong> B) :<br />• Si l&rsquo;interrupteur A est activé (A = 1) ET que le capteur B détecte des personnes (B = 1), alors la condition C « la lumière s&rsquo;allume » est VRAIE (C = 1).<br />• Si l&rsquo;interrupteur A est désactivé (A = 0), même si le capteur B détecte des personnes (B = 1), la condition C est FAUSSE ( C = 0).<br />• Si l&rsquo;interrupteur A est activé (A = 1) mais le capteur B ne détecte pas de personnes (B = 0), la condition C est également FAUSSE (C=0).<br />• Si les deux, l&rsquo;interrupteur A et le capteur B , sont désactivés (A=0 et B=0), la condition C est FAUSSE (C=0).</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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									<p>Interrupteur A <strong>OU</strong> Capteur B (A <strong>OU</strong> B) :<br />• Si l&rsquo;interrupteur A est activé (A = 1) OU que le capteur B détecte des personnes (B = 1) alors la condition C est VRAIE (C=1)<br />• Si l&rsquo;interrupteur A est désactivé (A = 0) OU le capteur B détecte des personnes (B = 1) alors la condition C est VRAIE (C=1).<br />• Si les deux, Si l&rsquo;interrupteur A est activé (A = 1) ou le capteur B ne détecte pas de personne (B = 0) alors la condition est VRAIE (C=1).<br />• Si l&rsquo;interrupteur A est désactivé (A = 0) ou le capteur B ne détecte pas de personne (B=0) alors la condition C est FAUSSE (C = 0).</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>Dans ces exemples, l&rsquo;opération ET nécessite que l&rsquo;interrupteur soit activé et que des personnes soient détectées pour que la condition soit vraie. À l&rsquo;inverse, l&rsquo;opération OU requiert que l&rsquo;interrupteur soit activé soit la présence de personnes soit détectée pour que la condition soit vraie.</p><p>On peut tout résumer dans ces deux tableaux :</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-68d43827 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="68d43827" data-element_type="section" data-e-type="section">
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							<div class="elementor-shortcode">
<table id="tablepress-37" class="tablepress tablepress-id-37">
<thead>
<tr class="row-1">
	<th class="column-1">A</th><th class="column-2">B</th><th class="column-3">A AND B</th>
</tr>
</thead>
<tbody class="row-striping row-hover">
<tr class="row-2">
	<td class="column-1">0</td><td class="column-2">0</td><td class="column-3">0</td>
</tr>
<tr class="row-3">
	<td class="column-1">0</td><td class="column-2">1</td><td class="column-3">0</td>
</tr>
<tr class="row-4">
	<td class="column-1">1</td><td class="column-2">0</td><td class="column-3">0</td>
</tr>
<tr class="row-5">
	<td class="column-1">1</td><td class="column-2">1</td><td class="column-3">1</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<!-- #tablepress-37 from cache --></div>
						</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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							<div class="elementor-shortcode">
<table id="tablepress-38" class="tablepress tablepress-id-38">
<thead>
<tr class="row-1">
	<th class="column-1">A</th><th class="column-2">B</th><th class="column-3">A OR B</th>
</tr>
</thead>
<tbody class="row-striping row-hover">
<tr class="row-2">
	<td class="column-1">0</td><td class="column-2">0</td><td class="column-3">0</td>
</tr>
<tr class="row-3">
	<td class="column-1">0</td><td class="column-2">1</td><td class="column-3">1</td>
</tr>
<tr class="row-4">
	<td class="column-1">1</td><td class="column-2">0</td><td class="column-3">1</td>
</tr>
<tr class="row-5">
	<td class="column-1">1</td><td class="column-2">1</td><td class="column-3">1</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<!-- #tablepress-38 from cache --></div>
						</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-7b552ba8 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="7b552ba8" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>Ces opérations de base peuvent être combinées pour former des expressions logiques plus complexes, permettant de représenter des conditions (pas seulement deux comme dans l&rsquo;exemple précédent) et des raisonnements logiques. </p><p>L&rsquo;algèbre de Boole trouve des applications pratiques dans la conception de circuits logiques, les systèmes de contrôle, l&rsquo;informatique, et d&rsquo;autres domaines où la logique binaire est utilisée pour modéliser des états et des décisions.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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							<div class="elementor-spacer">
			<div class="elementor-spacer-inner"></div>
		</div>
						</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-medium">Revenons au Neurone</h2>				</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-69375e4c elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="69375e4c" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>Scientifique du fond en levant la main pour demander la parole: « Mais qu&rsquo;est ce qu&rsquo;un neurone a à voir avec l&rsquo;algèbre de Boole ? « </p><p>Le Dr. Ford rentre en détail dans les explications: « Faisons simple et considérons un neurone formel acceptant simplement deux variables d&rsquo;entrée \(x_1\) et \(x_2\) que l&rsquo;on place dans un vecteur d&rsquo;entrée <span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );">(c&rsquo;est l&rsquo;information que reçoit le neurone)</span></p><p>\begin{equation*} \mathbf{X}=\left[ \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array} \right]. \end{equation*}</p><p>Sachant que les entrées peuvent seulement valoir 0 ou 1 dans notre cas on a seulement 4 vecteurs entrée possibles</p><p>\begin{equation*} \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right]\quad \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]\quad \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]\quad \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right] \end{equation*}</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-39fda0e1 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="39fda0e1" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>On lui définit aussi les deux paramètres synaptiques \(w_1\) et \(w_2\) que l&rsquo;on place aussi dans un vecteur que l&rsquo;on note W.</p><p>\begin{equation*} \mathbf{W}=\left[ \begin{array}{c} w_{1} \\ w_{2} \end{array} \right]. \end{equation*}</p><p>Ceux-ci peuvent valoir soit 1 soit -1 donc comme précédemment on à seulement 4 vecteurs poids possible</p><p>\begin{equation*} \left[ \begin{array}{c} -1 \\ -1 \end{array} \right]\quad \left[ \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right]\quad \left[ \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right]\quad \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right] \end{equation*}</p><p> </p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
				<div class="elementor-column elementor-col-50 elementor-top-column elementor-element elementor-element-4810397f" data-id="4810397f" data-element_type="column" data-e-type="column">
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									<p>Maintenant on peut entamer la <strong>phase d&rsquo;agrégation</strong> qui prend d&rsquo;abord une entrée, lui associe un poids correspondant, somme et ajoute un biais noté b. En voici le résultat:</p><p>\[ \Sigma = w_1 x_1 + w_2 x_2 +b \]</p><p>on place le tout dans un tableau</p>								</div>
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									<p>Ensuite on passe à la <strong>phase d&rsquo;activation</strong> c&rsquo;est à dire qu&rsquo;on introduit la valeur obtenu \(\Sigma\) dans notre fonction seuil que nous noterons H et qui détermine la sortie du neurone comme suit</p><p>\[ y = H(\Sigma+b)\]</p>								</div>
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									<p>En appliquant un raisonnement similaire, on observe qu&rsquo;un neurone à une seule entrée peut soit ne produire aucun effet (neurone identité) soit effectuer une opération de NON logique.</p><p>En établissant un lien avec l&rsquo;algèbre de Boole, nous avons démontré comment ce modèle pouvait réaliser des opérations logiques fondamentales, telles que le OU et le ET.</p><p>Cependant, en dépit de ses avancées, ce modèle seul présente deux limitations majeures : premièrement, il est limité à des opérations simples, et deuxièmement, il ne dispose d&rsquo;aucun mécanisme d&rsquo;apprentissage. Comme illustré précédemment, les seules opérations que nous pouvons effectuer sont le OU et le ET et nous devons manuellement déterminer les valeurs des poids pour effectuer ces opérations logiques spécifiques. Ces limitations ont motivé le développement ultérieur de modèles plus sophistiqués dans le domaine du Deep Learning, notamment en mettant en réseau ces modèles de neurones, nous avons la capacité de résoudre pratiquement n&rsquo;importe quel problème de logique booléenne. Si de plus, nous autorisons le modèle à apprendre de manière autonome, il devient alors possible d&rsquo;aborder des problématiques plus complexes et d&rsquo;élargir considérablement ses capacités.</p>								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large">L'avènement du Perceptron</h2>				</div>
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									<p>Le perceptron, conçu par le psychologue américain Frank Rosenblatt une quinzaine d&rsquo;années après l&rsquo;introduction du concept de neurone formel par McCulloch et Pitt, marque une avancée significative avec l&rsquo;introduction du premier algorithme d&rsquo;apprentissage du Deep Learning.</p>
<p>Le modèle du perceptron partage une similitude frappante avec celui que nous venons d&rsquo;étudier. En fait, la seule différence entre le perceptron et le neurone formel précédent réside dans l&rsquo;ajout d&rsquo;un algorithme d&rsquo;apprentissage qui lui permet de déterminer les valeurs de ses paramètres W, afin d&rsquo;obtenir les sorties y souhaitées, éliminant ainsi la nécessité d&rsquo;une recherche manuelle par les humains. </p>
<p>F. Rosenblatt s&rsquo;est inspiré de la loi de Hebb en neuroscience, suggérant que le renforcement des liens synaptiques entre deux neurones biologiques se produit lorsqu&rsquo;ils sont excités conjointement, un phénomène connu sous le principe « cells that fire together, wire together. » Cette plasticité synaptique est cruciale dans la construction de la mémoire et l&rsquo;apprentissage.</p>								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-medium">La Loi de Hebb</h2>				</div>
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									<p>L&rsquo;algorithme d&rsquo;apprentissage du perceptron consiste donc à entraîner le neurone artificiel sur des données de référence (X, y). À chaque activation de l&rsquo;entrée X en même temps que la sortie y présente dans les données, les paramètres W sont renforcés. F. Rosenblatt a formulé cette idée avec l&rsquo;équation suivante :<br />\[W^* = W + \delta(y_{\text{ref}} &#8211; y)X\]<br />où les nouveaux poids \(W^*\) sont mis à jour grâce à un taux d&rsquo;apprentissage \(\delta\).  \(y_{\text{ref}}\) est la sortie de référence, y est la sortie produite par le neurone, et X est l&rsquo;entrée du neurone.</p>
<p>Cette formule permet d&rsquo;ajuster les poids de manière à minimiser la différence entre la sortie attendue et la sortie produite par le neurone. Ainsi, si le neurone produit une sortie différente de celle attendue (par exemple, y=0 au lieu de y=1), les poids associés aux entrées activées sont augmentés. Ce processus continue jusqu&rsquo;à ce que la sortie du neurone converge vers la sortie attendue.</p>								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-medium">Limites du Modèle</h2>				</div>
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									<p>Mesdames et messieurs de la communauté scientifique, considérons le dorénavant un perceptron composé d&rsquo;uniquement de deux entrées \(x_1\) et \(x_2\). Sa fonction d&rsquo;agrégation est donc \(f(x_1, x_2) = w_1x_1 + w_2x_2\) et, par sa forme, peut modéliser des relations linéaires. Cependant, cette simplicité comporte des limitations lorsque nous somme confronté à des problèmes non linéaires.</p>
<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Le Dr. Ford souligne avec sagacité : « Le perceptron, dans son essence, est comme un outil avec une perspective restreinte. Il peut réussir à effectuer des prédictions sommaires, mais il peine à saisir la complexité des relations non linéaires présentes dans le monde réel. »</span></p>
<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Un scientifique de l&rsquo;audience, affichant une compréhension profonde : « C&rsquo;est comme si nous essayions de prédire le comportement d&rsquo;un cercle en traçant qu&rsquo;une ligne à la règle. »</span></p>
<p>Dr. Ford, souriant : « Exactement ! C&rsquo;est pourquoi nous explorons des approches plus complexes pour modéliser la richesse des relations. »</p>								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-medium">Quelques Perceptrons en plus</h2>				</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>Pour surmonter ce premier problème, introduisons tout d&rsquo;abord trois perceptrons que nous relierons ensemble. Les deux premiers recevront chacun les entrées \(x_1\) et \(x_2\), effectueront leurs calculs en fonction de leurs paramètres, puis renverront une sortie y vers le troisième perceptron. Ce dernier effectuera également ses propres calculs pour produire une sortie finale. </p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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									</div>
				</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p> </p>
<p> </p>
<p>Essayez de programmer trois neurones de cet hôte et vous pourrez tracer <span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );"> </span><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );">la représentation graphique de la sortie finale en fonction des entrées \(x_1\) et \(x_2\), vous obtiendrez alors un modèle non linéaire, bien plus intéressant. </span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;">Ce modèle sera alors votre premier réseau de neurones artificiels, composé de 3 neurones répartis en deux couches : une couche d&rsquo;entrée et une couche de sortie. Vous pouvez ajouter autant de couches et de neurones que vous le souhaitez, mais plus vous en ajouterez, plus la simulation de résultats complexes demandera de temps de calcul et de ressource. Vous pouvez aussi changer la topologie, c&rsquo;est à dire la nature des connexions entre les neurones. Cela dépendra du problème à traiter. C&rsquo;est ce que nous allons voir maintenant.</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large">Les Réseaux de Neurones</h2>				</div>
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									<p>Les réseaux de neurones, aussi appelés réseaux neuronaux artificiels, sont des modèles computationnels inspirés de la structure et du fonctionnement du cerveau humain. Ils se composent de neurones artificiels interconnectés et organisés en couches. Chaque neurone reçoit des entrées, effectue des opérations de traitement, puis transmet une sortie. Ces sorties sont ensuite transmises aux neurones de la couche suivante, créant ainsi une architecture en couches.</p><p>Les réseaux de neurones comprennent trois types de couches principales :</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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									<p>1. <strong>Couche d&rsquo;entrée</strong> (<strong>Input Layer</strong>) : Recevant les données d&rsquo;entrée du système, chaque nœud de cette couche représente une caractéristique ou une variable d&rsquo;entrée.</p><p>2. <strong>Couches cachées</strong> (<strong>Hidden Layers</strong>) : Ces couches effectuent des opérations de transformation des données. Chaque nœud dans une couche cachée prend des entrées, applique des poids et des biais, puis produit une sortie. Elles sont cruciales pour que le réseau apprenne des représentations complexes des données.</p><p>3. <strong>Couche de sortie</strong> (<strong>Output Layer</strong>) : Produisant la prédiction ou la classification finale, cette couche synthétise les informations apprises par les couches cachées pour générer la sortie finale.</p>								</div>
				</div>
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										</figure>
									</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
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									Le choix des unités cachées est un domaine de recherche actif en apprentissage automatique. Le nombre de couches cachées est appelé la profondeur du réseau neuronal. La question de savoir combien de couches rendent un réseau  » profond  » n&rsquo;a pas de réponse unique. En général, des réseaux plus profonds peuvent apprendre des fonctions plus complexes.								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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									<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Il existe plusieurs types de réseaux de neurones selon la topologie des connexions entre les neurones. La topologie peut varier en fonction de l&rsquo;architecture spécifique du réseau, mais certaines régularités sont couramment observées. Voici quelques exemples de topologies :</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
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									<p><strong>• Le perceptron multicouche</strong> <strong>(Multi-layer perceptron)</strong> : Chaque neurone de la couche est connecté à tous les neurones de la couche suivante. C&rsquo;est une configuration simple utilisée notamment pour la classification d&rsquo;images.</p><p><strong>• Réseau Convolutif (Convolutional Neural Network &#8211; CNN)</strong> : Spécialisé dans le traitement d&rsquo;images, il utilise des filtres pour analyser des parties locales, réduisant ainsi le nombre de paramètres et extrayant des caractéristiques importantes.</p><p><strong>• Réseau Récurrent (Recurrent Neural Network &#8211; RNN)</strong> : Conçu pour traiter des données séquentielles, il utilise des connexions récurrentes pour prendre en compte la séquence temporelle des données.</p><p><strong>• Réseau à Mémoire Longue (Long Short-Term Memory &#8211; LSTM)</strong> : Une extension des RNN, les LSTM traitent des séquences plus longues en évitant la disparition du gradient.</p><p><strong>• Réseau Autoencodeur</strong> : Destiné à l&rsquo;apprentissage non supervisé, le réseau autoencodeur est constitué d&rsquo;une couche d&rsquo;encodeur et d&rsquo;une couche de décodeur. Son objectif est de reproduire l&rsquo;entrée tout en générant une représentation latente. L&rsquo;accent est mis sur la réduction de dimension, particulièrement utile lorsqu&rsquo;il y a un volume important de données. En substituant ces données par une représentation dans un espace de dimension inférieure, on optimise le traitement par les processeurs, améliorant ainsi l&rsquo;efficacité du modèle (on en parlera dans un autre article).</p><p><strong>• Réseau de Neurones Résiduel (Residual Neural Network &#8211; ResNet)</strong> : Introduit pour résoudre le problème de la disparition du gradient, les ResNets utilisent des connexions résiduelles pour faciliter l&rsquo;apprentissage de représentations plus profondes.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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									<p>Dans cette exploration, nous nous concentrerons particulièrement sur les réseaux de neurones à propagation avant. C&rsquo;est le premier type de réseau neuronal artificiel, le plus simple, où l&rsquo;information se déplace uniquement vers l&rsquo;avant, des nœuds d&rsquo;entrée aux nœuds de sortie, sans cycles ou boucles (on dit qu&rsquo;il est acyclique, se distinguant ainsi des réseaux récurrents). Le perceptron seul que nous avons déjà vu, puis son extension la plus connue, le perceptron multicouche que nous allons voir tout de suite. </p><p><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );">Mais au fait, j&rsquo;avais oublié, comment entraîner un réseau de neurones pour qu&rsquo;il réalise ce qu&rsquo;on lui demande, c&rsquo;est-à-dire comment trouver les paramètres w et b de manière à obtenir le bon modèle ?</span></p><p><em>L&rsquo;ensemble de l&rsquo;auditoire reste muet.</em></p><p>Ne vous en faites pas c&rsquo;est maintenant qu&rsquo;on voit ça.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large">Programmation Cognitive des Hôtes à Reconnaissance de Chiffres Manuscrits: Le Perceptron Multicouche</h2>				</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
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									<p>Avant que nos hôtes ne puissent exceller dans des tâches plus avancées, telles que la reconnaissance d&rsquo;êtres humains ou même d&rsquo;émotions, il est impératif de les initier aux fondamentaux, à commencer par la reconnaissance de chiffres manuscrits car comme le dit le proverbe, « Avant d&rsquo;apprendre à courir, il faut apprendre à marcher ».</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;"> </span></p>
<p><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;">Pour les guider dans cet apprentissage (supervisé), nous utilisons une série d&rsquo;images de chiffres, chacune représentant visuellement la correspondance entre la forme manuscrite et le chiffre en question.</span></p>
<p><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;"> Ensuite, nos hôtes sont mis au défi de reconnaître les chiffres qui leur sont présentés.</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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										</figure>
									</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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									<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;">Ce modèle de classification constitue le premier réseau de neurones artificiels de nos hôtes avec une couche d&rsquo;entrée, plusieurs couches cachées que l&rsquo;on déterminera et une couche de sortie. Un tel réseau multicouche, où la complexité peut être augmentée en ajoutant plus de couches et de neurones, mais cela nécessitera plus de temps de calcul.</p>
<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;">Maintenant, explorons le processus auquel nos hôtes sont soumis lors de leur programmation pour maîtriser cette tâche.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
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				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-4392326a elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="4392326a" data-element_type="section" data-e-type="section">
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-medium">Assimilation des Données d'Entraînement (DataSet)</h2>				</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
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									<p>Nos hôtes sont alimentés en données d&rsquo;entraînement, composées de 60 000 exemples d&rsquo;images en niveau de gris de chiffres manuscrits de résolution 28 pixel par 28 pixel et de leurs correspondances respectives. Ces données sont cruciales pour enseigner aux hôtes à généraliser à partir d&rsquo;exemples existants. Et 10 000 images de test de même format pour les examiner, c&rsquo;est à dire savoir s&rsquo;ils ont bien réussi à classer les images. Voici les chiffres de 0 à 9:</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
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									<p>De telles images sont simplement des tableaux de données contenant des chiffres de 0 à 255. Chacun des 60 000 tableaux est « aplati » pour former 60 000 vecteur X avec 784 coordonnées correspondant aux nombre total de pixel dans une image avec une étiquette y entre 0 et 9.</p>								</div>
				</div>
					</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-medium">Construction du Modèle Cognitif</h2>				</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>Le modèle cognitif représente la structure du réseau de neurones dans l&rsquo;esprit de nos hôtes, englobant des aspects tels que le nombre de couches, le nombre de neurones par couche, les paramètres d&rsquo;apprentissage (W et b), et même les fonctions d&rsquo;activations. La conception du modèle dépend étroitement de la nature spécifique de la tâche à accomplir. </p>
<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;">Les poids et biais subiront des ajustements continus tout au long de l&rsquo;entraînement afin de minimiser l&rsquo;erreur entre les prédictions du modèle et les sorties attendues. L&rsquo;initialisation et la mise à jour appropriées de ces paramètres sont cruciales pour optimiser la performance du réseau. Les autres paramètres comme le nombre de couches, le nombre de neurones seront ajustés manuellement afin de trouver le modèle le plus efficace dans un délai raisonnable et sans consommer excessivement de ressources car<span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );"> il est peu souhaitable qu&rsquo;un hôte mette 30 secondes à reconnaître un chiffre manuscrit ou qu&rsquo;il soit inactif pendant cette tâche.</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Propagation vers l'Avant</h2>				</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>La première étape de ce processus cognitif est la propagation vers l&rsquo;avant (forward propagation) : le cerveau des hôtes fait circuler les informations des pixels de la première couche jusqu&rsquo;à la dernière pour produire une sortie y (l&rsquo;étiquette du chiffre manuscrit). </p>
<p>Analysons son fonctionnement<span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">.</span></p>
<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;">• La couche d&rsquo;entrée est constituée de seulement 784 neurones, chacun analysant un pixel de l&rsquo;image. Elle ne compte aucun paramètre.</p>
<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;">• Les couches cachées (<span style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;">sigmoïde</span>) : <span style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );"> </span><span style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );">ensuite, nous dotons nos hôtes de deux couches cachées, comprenant chacune 100 neurones avec une fonction d&rsquo;activation de type sigmoïde</span><span style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );">. </span></p>
<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;"> </p>
<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;"><span style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );">La sortie de la première couche nous fourni un vecteur \(A^1\) contenant 100 coordonnées (une pour chaque neurones). Les calculs effectués pour chaque éléments sont simples et sont calqués sur le modèle du perceptron: on calcule la fonction d&rsquo;agrégation puis on lui applique la fonction d&rsquo;activation.</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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												<figure class="wp-caption">
										<img loading="lazy" decoding="async" width="1024" height="576" src="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2024/01/Image-Westworld-S01-EP03-Ford-2x-1024x576.jpg" class="attachment-large size-large wp-image-6298" alt="" srcset="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2024/01/Image-Westworld-S01-EP03-Ford-2x-1024x576.jpg 1024w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2024/01/Image-Westworld-S01-EP03-Ford-2x-300x169.jpg 300w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2024/01/Image-Westworld-S01-EP03-Ford-2x-768x432.jpg 768w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2024/01/Image-Westworld-S01-EP03-Ford-2x-800x450.jpg 800w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2024/01/Image-Westworld-S01-EP03-Ford-2x.jpg 1200w" sizes="(max-width: 1024px) 100vw, 1024px" />											<figcaption class="widget-image-caption wp-caption-text">Crédits: HBO</figcaption>
										</figure>
									</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;"><span style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );"> On écrit tout d&rsquo;une manière compacte sous forme matricielle.</span></p>
<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;">\begin{align*}<br />Z^{1} &amp;= W^{1}\cdot X+b^1\\<br />A^{1} &amp;= \frac{1}{1+\exp{(-Z^{1})}}<br />\end{align*}</p>
<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;"><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">La deuxième couche cachée fourni un vecteur \(A^2\) contenant aussi 100 coordonnées. On fait pareil pour la deuxième couche</span></p>
<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;"><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">\begin{align*}<br />Z^{2} &amp;= W^{2}\cdot A^{1}+b^2\\<br />A^{2} &amp;= \frac{1}{1+\exp{(-Z^{2})}}<br />\end{align*}</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-69e43ac3 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="69e43ac3" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;">• La couche de sortie: <span style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );">Enfin, comme l&rsquo;objectif est de classifier les chiffres de 0 à 9, une couche de sortie composée de 10 neurones, accompagnée d&rsquo;une fonction d&rsquo;activation de type softmax, est amplement suffisante. </span></p>
<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;"> </p>
<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;">\begin{align*}<br />Z^{3} &amp;= W^{3}\cdot A^{2}+b^2\\<br />A^{2} &amp;= \frac{1}{1+\exp{(-Z^{3})}}<br />\end{align*}</p>
<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;">La fonction softmax assigne des probabilités à chaque classe possible. Pour chaque image en entrée, elle attribue une probabilité d&rsquo;appartenir à la classe 0, 1, 2, &#8230;, jusqu&rsquo;à 9. Voici un exemple </p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-44a0bdac elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="44a0bdac" data-element_type="section" data-e-type="section">
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<table id="tablepress-39" class="tablepress tablepress-id-39">
<thead>
<tr class="row-1">
	<th class="column-1">Chiffres</th><th class="column-2">0</th><th class="column-3">1</th><th class="column-4">2</th><th class="column-5">3</th><th class="column-6">4</th><th class="column-7">5</th><th class="column-8">6</th><th class="column-9">7</th><th class="column-10">8</th><th class="column-11">9</th>
</tr>
</thead>
<tbody class="row-striping row-hover">
<tr class="row-2">
	<td class="column-1">Probabilités</td><td class="column-2">0.00000028</td><td class="column-3">0.00000000023</td><td class="column-4">0.000017</td><td class="column-5">0.000070</td><td class="column-6">0.00000000019</td><td class="column-7">0.00000030</td><td class="column-8">0.000000000018</td><td class="column-9">0.99</td><td class="column-10">0.0000018</td><td class="column-11">0.000022</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<!-- #tablepress-39 from cache --></div>
						</div>
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									<p><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;">D&rsquo;après ce tableau il n&rsquo;y a quasiment aucun doute, ce chiffre est à 99% un 7, l&rsquo;hôte lui assignera donc ce chiffre. De manière générale l&rsquo;hôte assignera à l&rsquo;image l&rsquo;étiquette qui a la plus grande probabilité. </span></p>
<p><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );">Cette fonction permet donc d&rsquo;interpréter les résultats comme la confiance du modèle dans chaque classe, et facilite la prise de décision dans le contexte d&rsquo;une tâche de classification multiclasse. </span></p>								</div>
				</div>
					</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Analyse de l'Erreur Cognitive: La Fonction Coût</h2>				</div>
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					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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									<p>Dans la deuxième phase, le réseau neuronal de l&rsquo;hôte procède à l&rsquo;analyse de l&rsquo;erreur entre la sortie y (sa prédiction) du modèle et la sortie de référence attendue (\(y_{\text{ref}}\)). Cette évaluation s&rsquo;effectue en utilisant une fonction de coût fréquemment utilisé dans les tâches de classification, y compris la reconnaissance de chiffres manuscrits, en l&rsquo;occurrence, il s&rsquo;agit de la cross-entropie catégorique, que nous avons déjà rencontrée précédemment (sous une autre forme). </p>
								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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												<figure class="wp-caption">
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										</figure>
									</div>
				</div>
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		</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;"> </p>
<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;">On rappelle son expression:</p>
<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;">\begin{align*}L(W,b)=-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\left[y^{(k)}\log{y_{\text{ref}}}+\left(1-y^{(k)}\right)\log{\left(1-y_{\text{ref}}\right)}\right].\end{align*}</p>
<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;"> </p>
<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;">De manière générale, \(y_{ref}\) peut être la sortie finale mais aussi n&rsquo;importe quelle sortie de couche de neurone \(A^{i}\) avec i la i-ème couche que l&rsquo;on place dans un tableau nommé \(\mathbf{A}\). Ce qui donne la formule matricielle suivante:</p>
<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;"> </p>
<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;">\begin{align*}L(W,b)=-\frac{1}{n}\left[\mathbf{y}\log{\mathbf{A}}+\left(1-\mathbf{y}\right)\log{\left(1-\mathbf{A}\right)}\right].\end{align*}</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-1fc3a738 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="1fc3a738" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;">C&rsquo;est un élément crucial de l&rsquo;analyse cognitive du modèle et elle mesure la différence entre les probabilités prédites par le modèle et les probabilités réelles des classes. </span><span style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );">Son objectif est de quantifier de manière appropriée l&rsquo;écart entre les prédictions du réseau neuronal et les véritables labels associés aux images de chiffres. Une minimisation efficace de cette fonction coût lors de l&rsquo;entraînement contribue à affiner les paramètres du modèle pour une meilleure performance.</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Mécanismes de Compréhension</h2>				</div>
				</div>
					</div>
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					</div>
		</section>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>La troisième étape est rétropropagation. Les hôtes mesurent comment cette fonction coût varie par rapport à chaque couche du modèle, en <span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">remontant de la dernière à la première. C&rsquo;est à dire qu&rsquo;ils vont analyser l&rsquo;erreur de la sortie et de l&rsquo;avant dernière couche, puis de l&rsquo;avant dernière couche et l&rsquo;avant avant dernière couche etc jusqu&rsquo;à remonter à la couche d&rsquo;entrée.</span></p>
<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">En somme, il faut calculer comment l&rsquo;erreur se propage de la sortie vers l&rsquo;entrée pour pouvoir la réduire. Sur ce réseau avec deux couches cachées cela donne 6 expressions terrifiantes (si vous retenez juste la phrase précédente c&rsquo;est nickel):</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>On commence par la dernière (de la sortie à la deuxième)</p>
<p>\begin{align*}<br />\frac{\partial L(\mathbf{W},b)}{\partial \mathbf{W}^3} =\frac{\partial L}{\partial \mathbf{A}^3} \times \frac{\partial \mathbf{A}^3}{\partial \mathbf{Z}^3} \times \frac{\partial \mathbf{Z}^3}{\partial \mathbf{W}^3}<br />\end{align*}</p>
<p>\begin{align*}<br />\frac{\partial L(\mathbf{W},b)}{\partial \mathbf{b}^3} =\frac{\partial L}{\partial \mathbf{A}^3} \times \frac{\partial \mathbf{A}^3}{\partial \mathbf{Z}^3} \times \frac{\partial \mathbf{Z}^3}{\partial \mathbf{b}^3}<br />\end{align*}</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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						<div class="elementor-element elementor-element-400c28a9 elementor-widget elementor-widget-text-editor" data-id="400c28a9" data-element_type="widget" data-e-type="widget" data-widget_type="text-editor.default">
				<div class="elementor-widget-container">
									<p>l&rsquo;avant dernière (de la deuxième à la première)</p>
<p>\begin{align*}\frac{\partial L(\mathbf{W},b)}{\partial \mathbf{W}^2} =\frac{\partial L}{\partial \mathbf{A}^3} \times \frac{\partial \mathbf{A}^3}{\partial \mathbf{Z}^3} \times \frac{\partial \mathbf{Z}^3}{\partial \mathbf{A}^2}\times\frac{\partial \mathbf{A}^2}{\partial \mathbf{Z}^2} \times \frac{\partial \mathbf{Z}^2}{\partial \mathbf{W}^2}\end{align*}</p>
<p>\begin{align*}\frac{\partial L(\mathbf{W},b)}{\partial \mathbf{W}^2} =\frac{\partial L}{\partial \mathbf{A}^3} \times \frac{\partial \mathbf{A}^3}{\partial \mathbf{Z}^3} \times \frac{\partial \mathbf{Z}^3}{\partial \mathbf{A}^2}\times\frac{\partial \mathbf{A}^2}{\partial \mathbf{Z}^2} \times \frac{\partial \mathbf{Z}^2}{\partial \mathbf{}^2}\end{align*}</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-508ee84f elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="508ee84f" data-element_type="section" data-e-type="section">
						<div class="elementor-container elementor-column-gap-default">
					<div class="elementor-column elementor-col-50 elementor-top-column elementor-element elementor-element-3e8e4d8a" data-id="3e8e4d8a" data-element_type="column" data-e-type="column">
			<div class="elementor-widget-wrap elementor-element-populated">
						<div class="elementor-element elementor-element-4cf3bb8b elementor-widget elementor-widget-text-editor" data-id="4cf3bb8b" data-element_type="widget" data-e-type="widget" data-widget_type="text-editor.default">
				<div class="elementor-widget-container">
									<p>et enfin l&rsquo;entrée (de la première à l&rsquo;entrée)</p>
<p>\begin{align*}\frac{\partial L(\mathbf{W},b)}{\partial \mathbf{W}^1} =\frac{\partial L}{\partial \mathbf{A}^3} \times \frac{\partial \mathbf{A}^3}{\partial \mathbf{Z}^3} \times \frac{\partial \mathbf{Z}^3}{\partial \mathbf{A}^2}\times\frac{\partial \mathbf{A}^2}{\partial \mathbf{Z}^2}\times \frac{\partial \mathbf{Z}^2}{\partial \mathbf{A}^1}\times\frac{\partial \mathbf{A}^1}{\partial \mathbf{Z}^1} \times \frac{\partial \mathbf{Z}^1}{\partial \mathbf{W}^1} \end{align*}</p>
<p>\begin{align*}\frac{\partial L(\mathbf{W},b)}{\partial \mathbf{b}^1} =\frac{\partial L}{\partial \mathbf{A}^3} \times \frac{\partial \mathbf{A}^3}{\partial \mathbf{Z}^3} \times \frac{\partial \mathbf{Z}^3}{\partial \mathbf{A}^2}\times\frac{\partial \mathbf{A}^2}{\partial \mathbf{Z}^2}\times \frac{\partial \mathbf{Z}^2}{\partial \mathbf{A}^1}\times\frac{\partial \mathbf{A}^1}{\partial \mathbf{Z}^1} \times \frac{\partial \mathbf{Z}^1}{\partial \mathbf{b}^1} \end{align*}</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
				<div class="elementor-column elementor-col-50 elementor-top-column elementor-element elementor-element-38bea8e2" data-id="38bea8e2" data-element_type="column" data-e-type="column">
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Optimisation Mentale</h2>				</div>
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									<p>Pour terminer, la quatrième étape est l&rsquo;optimisation mentale. Les hôtes ajustent mentalement chaque paramètre du modèle grâce à de la descente de gradient (vous vous souvenez ? voir l&rsquo;article ), avant de revenir à la première étape, la propagation avant, pour recommencer un cycle d&rsquo;entraînement.</p>
<p><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;">\begin{align*}\mathbf{W^*}=\mathbf{W}-\delta \frac{\partial }{\partial \mathbf{b}}L(\mathbf{W},\mathbf{b})\\<br />\mathbf{W^*}=\mathbf{W}-\delta \frac{\partial }{\partial \mathbf{W}}L(\mathbf{W},\mathbf{b})<br />\end{align*}</span></p>
<p>avec \(\delta\) le taux d&rsquo;apprentissage de l&rsquo;ensemble des neurones. </p>
<p>En résumé, ce processus permet à nos hôtes de maîtriser, dans une certaine mesure, la reconnaissance de chiffres manuscrits avec un taux de réussite d&rsquo;environ 83%, bien que cette performance ne soit pas exceptionnelle. <span style="color: var( --e-global-color-text ); font-size: 15px;">Voici quelques erreurs que commettent les hôtes:</span></p>								</div>
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												<figure class="wp-caption">
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										</figure>
									</div>
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										<img loading="lazy" decoding="async" width="444" height="424" src="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2024/01/Image-erreur-pred-4-true-7.png" class="attachment-large size-large wp-image-6246" alt="" srcset="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2024/01/Image-erreur-pred-4-true-7.png 444w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2024/01/Image-erreur-pred-4-true-7-300x286.png 300w" sizes="(max-width: 444px) 100vw, 444px" />											<figcaption class="widget-image-caption wp-caption-text">Prédiction d'un 4 alors que c'est un 7</figcaption>
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									</div>
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										</figure>
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									<p>Clairement certains chiffres manuscrits peuvent prêter à confusion, même pour l&rsquo;œil humain, tandis que d&rsquo;autres semblent être sans aucun doute identifiables, comme le 3 ci-dessus.</p>								</div>
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					</div>
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									</div>
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									<p><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;">&nbsp;</span></p>
<p><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;">&nbsp;</span></p>
<p><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;">Ainsi, en ajustant quelques paramètres, il devient relativement facile d&rsquo;améliorer significativement les performances du modèle et d&rsquo;atteindre les 94% de précision, une compétence cruciale dans leur parcours vers l&rsquo;acquisition de tâches cognitives plus avancées.&nbsp;</span></p>								</div>
				</div>
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									<p><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;">À mesure que nos hôtes progressent, ils élargiront leur champ d&rsquo;expertise, débloquant de nouvelles possibilités pour des expériences plus immersives à Westworld.</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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		</section>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large">Les Hôtes de Westworld : Des Chiffres aux Visages</h2>				</div>
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									<p>En conclusion, mes chers invités, notre première exploration dans les arcanes du Deep Learning se termine ici. Je suis très heureux de vous avoir révélé de nombreux concepts parmi lesquels les neurones formels, des perceptrons et des perceptrons multicouches. <span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Nous avons analysé un exemple concret où les hôtes de Westworld, au travers de leur processeur, ont acquis la capacité à reconnaître et à interpréter des chiffres manuscrits avec une précision déconcertante.</span></p>
<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Cependant ne vous y méprenez pas, ce réseau neuronal seul est bien loin de suffire lorsque le monde à analyser possède une plus grande résolution. Le nombre de paramètres d&rsquo;apprentissage qui ont du être ajustés pour notre perceptron multicouche </span><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );">(il y avait en beaucoup! 89 610 paramètres) de seulement deux couches cachées de 100 neurones était relativement faible pour pouvoir être lancé sur des machines peu puissantes. Imaginez maintenant, simuler de tel modèle avec des centaines de couches et des milliers de neurones par couche. Cela serait impossible ! C&rsquo;est la raison pour laquelle d&rsquo;autres techniques ont été développé comment les réseaux de neurones convolutifs qui permettent d&rsquo;analyser grâce à des filtres, des éléments caractéristiques de l&rsquo;image.</span></p>
<p><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );">Pour finir, et j&rsquo;en resterez là, ne visualisez pas une intelligence artificielle discernant visages, des objets complexes ou des émotions comme « intelligent ». Car même si les hôtes semblent approcher de manière saisissante l&rsquo;humanité dans leurs interactions, rappelons-nous toujours qu&rsquo;ils ne sont rien de plus que des machines.</span></p>								</div>
				</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Dr. Ford - "N'oubliez pas, les hôtes ne sont pas réel. Ils ne sont pas conscients" </h2>				</div>
				</div>
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										<img loading="lazy" decoding="async" width="1024" height="538" src="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2024/01/Image-evan-rachel-wood_0-e13754e8634b47599d929fa18d27c50e-1-1024x538.jpg" class="attachment-large size-large wp-image-6287" alt="" srcset="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2024/01/Image-evan-rachel-wood_0-e13754e8634b47599d929fa18d27c50e-1-1024x538.jpg 1024w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2024/01/Image-evan-rachel-wood_0-e13754e8634b47599d929fa18d27c50e-1-300x158.jpg 300w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2024/01/Image-evan-rachel-wood_0-e13754e8634b47599d929fa18d27c50e-1-768x403.jpg 768w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2024/01/Image-evan-rachel-wood_0-e13754e8634b47599d929fa18d27c50e-1.jpg 1200w" sizes="(max-width: 1024px) 100vw, 1024px" />											<figcaption class="widget-image-caption wp-caption-text">Crédits: HBO</figcaption>
										</figure>
									</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
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				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-4b68a1a8 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="4b68a1a8" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large">Bibliographie</h2>				</div>
				</div>
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		</div>
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						<div class="elementor-element elementor-element-47ed4245 elementor-widget elementor-widget-text-editor" data-id="47ed4245" data-element_type="widget" data-e-type="widget" data-widget_type="text-editor.default">
				<div class="elementor-widget-container">
									<p>F. Rosenblatt, The Perceptron, A perceiving and recognizing automaton, Cornell Aeronautical Laboratory,‎ 1957</p>
<p>F. Rosenblatt, The Perceptron: A Probabilistic Model For Information Storage And Organization in the Brain, Psychological Review, vol. 65, no 6,‎ 1958</p>
<p>M. Tommasi, Le Perceptron, Apprentissage automatique : les réseaux de neurones, cours à l&rsquo;université de Lille 3.</p>
<p>D.B. Parker, Learning Logic , Massachusetts Institute of Technology, Cambridge MA,‎ 1985.</p>
<p>G. Saint-Cirgue, Machine Learnia, Youtube Channel.</p>
<p>USI Events, Deep learning, Yann LeCun on Youtube.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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						<div class="elementor-element elementor-element-19fb421c elementor-widget elementor-widget-heading" data-id="19fb421c" data-element_type="widget" data-e-type="widget" data-widget_type="heading.default">
				<div class="elementor-widget-container">
					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Note: pour plus d'information sur les codes fournis rendez vous sur GitHub. Lien dans le pied de page !</h2>				</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
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				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-63b830ea elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="63b830ea" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
							<div class="elementor-toggle">
							<div class="elementor-toggle-item">
					<div id="elementor-tab-title-1491" class="elementor-tab-title" data-tab="1" role="button" aria-controls="elementor-tab-content-1491" aria-expanded="false">
												<span class="elementor-toggle-icon elementor-toggle-icon-left" aria-hidden="true">
															<span class="elementor-toggle-icon-closed"><i class="fas fa-caret-right"></i></span>
								<span class="elementor-toggle-icon-opened"><i class="elementor-toggle-icon-opened fas fa-caret-up"></i></span>
													</span>
												<a class="elementor-toggle-title" tabindex="0">Perceptron à la main</a>
					</div>

					<div id="elementor-tab-content-1491" class="elementor-tab-content elementor-clearfix" data-tab="1" role="region" aria-labelledby="elementor-tab-title-1491"><p></p>
<pre class="wp-block-code has-black-background-color has-background"><code class="language-python line-numbers" lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Set the random seed for reproducibility
np.random.seed(42)

# Generate points for class 0
class0_points = np.random.normal(loc=[3, 6], scale=[1, 1], size=(200, 2))

# Generate points for class 1
class1_points = np.random.normal(loc=[7, 3], scale=[1, 1], size=(200, 2))

M0 = np.zeros((class0_points.shape[0], 1))
M1 = np.ones((class1_points.shape[0], 1))

X = np.concatenate([class0_points, class1_points], axis=0)
y = np.concatenate([M0, M1], axis=0)


# Create an initialization function to initialize parameters W and b of our model
def initialization(X):
    np.random.seed(seed=0)
    W = np.random.randn(X.shape[1], 1)
    b = np.random.randn(1)
    return W, b

W, b = initialization(X)

print(W.shape)

# Next, create an iterative algorithm where we repeat the following functions in a loop:

# Start with the function that represents our artificial neuron model, where we find the function Z = X.W + b and the activation function A
def model(X, W, b):
    Z = X.dot(W) + b
    A = 1 / (1 + np.exp(-Z))
    return A

A = model(X, W, b)

# Next, create an evaluation function, i.e., the cost function that evaluates the model's performance by comparing the output A to the reference data y
def log_loss(A, y):
    return (1 / len(y)) * np.sum(-y * np.log(A) - (1 - y) * np.log(1 - A))

# In parallel, calculate the gradients of this cost function
def gradients(A, X, y):
    dW = (1 / len(y)) * np.dot(X.T, A - y)
    db = (1 / len(y)) * np.sum(A - y)
    return dW, db

dW, db = gradients(A, X, y)

print(dW.shape)
print(db.shape)

# Finally, use these gradients in an update function that updates the parameters W and b to reduce the model's errors
def update(dW, db, W, b, learning_rate):
    W = W - learning_rate * dW
    b = b - learning_rate * db
    return W, b

# Create a prediction function
def predict(X, W, b):
    A = model(X, W, b)
    return A >= 0.5

# Create an artificial neuron
def artificial_neuron(X, y, learning_rate=0.1, n_iter=100):
    # Initialize W, b
    W, b = initialization(X)

    # Visualize the loss
    Loss = []

    # Create a training loop
    for i in range(n_iter):
        A = model(X, W, b)
        Loss.append(log_loss(A, y))
        dW, db = gradients(A, X, y)
        W, b = update(dW, db, W, b, learning_rate)

    # Calculate predictions for all data
    y_pred = predict(X, W, b)

    # Display the performance of our model (e.g., accuracy), comparing the reference data y with our predictions
    # print(accuracy_score(y, y_pred))

    # Visualize the loss to see if our model has learned well
    plt.plot(Loss)
    plt.grid(ls='--')
    plt.show()
    return W, b

# Train the artificial neuron
W, b = artificial_neuron(X, y)

# Test on new data
new_data = np.array([6, 4])

plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, cmap='Dark2', label='Class 0 (Blue) / Class 1 (Orange)')
plt.scatter(new_data[0], new_data[1], c='red', label='New Data (Red)')
plt.title('Classification with an Artificial Neuron')
plt.xlabel('Feature 1')
plt.ylabel('Feature 2')
plt.grid(ls='--')
plt.legend()
plt.show()

prediction = predict(new_data, W, b)
print(f"Prediction for new data: {prediction}")

# Create the decision boundary
x0 = np.linspace(-1, 11, 100)
x1 = (-W[0] * x0 - b) / W[1]

plt.plot(x0, x1, c='red', lw=2, ls='--', label='Decision Boundary')
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, cmap='Dark2', label='Class 0 (Green) / Class 1 (Grey)')
plt.title('Classification with a Perceptron and Decision Boundary')
plt.xlabel('Feature 1')
plt.ylabel('Feature 2')
plt.grid(ls='--')
plt.legend()
plt.show()



</code></pre>
<p></p></div>
				</div>
							<div class="elementor-toggle-item">
					<div id="elementor-tab-title-1492" class="elementor-tab-title" data-tab="2" role="button" aria-controls="elementor-tab-content-1492" aria-expanded="false">
												<span class="elementor-toggle-icon elementor-toggle-icon-left" aria-hidden="true">
															<span class="elementor-toggle-icon-closed"><i class="fas fa-caret-right"></i></span>
								<span class="elementor-toggle-icon-opened"><i class="elementor-toggle-icon-opened fas fa-caret-up"></i></span>
													</span>
												<a class="elementor-toggle-title" tabindex="0">Perceptron multicouche à la main à la reconnaissance de chiffres manuscrits</a>
					</div>

					<div id="elementor-tab-content-1492" class="elementor-tab-content elementor-clearfix" data-tab="2" role="region" aria-labelledby="elementor-tab-title-1492">
<pre class="wp-block-code has-black-background-color has-background"><code class="language-python line-numbers" lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from tqdm import tqdm
from sklearn.metrics import log_loss, accuracy_score
from keras.datasets import mnist
from sklearn.preprocessing import OneHotEncoder

# Load MNIST data
(X_train, y_train), (X_test, y_test) = mnist.load_data()


# Display one image for each digit
fig, ax = plt.subplots(nrows=1, ncols=10, figsize=(20, 4))
for digit in range(10):
    digit_indices = np.where(y_train == digit)[0]
    ax[digit].imshow(255 - X_train[digit_indices[0]], cmap='gray')
    ax[digit].set_title(f'Digit {digit}')
    ax[digit].axis('off')

plt.tight_layout()
plt.show()



# Reshape and normalize input data
X_train_reshape = X_train.reshape(X_train.shape[0], -1) / 255.0
X_test_reshape = X_test.reshape(X_test.shape[0], -1) / 255.0

# Transpose labels if needed
y_train = y_train.reshape(-1, 1)
y_test = y_test.reshape(-1, 1)

# One-hot encode labels
encoder = OneHotEncoder(sparse=False, categories='auto')
y_train_onehot = encoder.fit_transform(y_train)
y_test_onehot = encoder.transform(y_test)

# Select a subset of data
m_train = 5000
m_test = 1000

X_train_reshape = X_train_reshape[:m_train, :]
X_test_reshape = X_test_reshape[:m_test, :]
y_train_onehot = y_train_onehot[:m_train, :]
y_test_onehot = y_test_onehot[:m_test, :]

print(X_train_reshape.shape)
print(X_test_reshape.shape)
print(y_train_onehot.shape)
print(y_test_onehot.shape)




# Neural network initialization function
def initialization(dimensions):
    np.random.seed(seed=0)
    parameters = {}
    C = len(dimensions)
    for c in range(1, C):
        parameters['W' + str(c)] = np.random.randn(dimensions[c], dimensions[c-1])
        parameters['b' + str(c)] = np.random.randn(dimensions[c], 1)
    return parameters

# Neural network forward propagation function
def forward_propagation(X, parameters):
    activations = {'A0': X}
    C = len(parameters) // 2
    for c in range(1, C + 1):
        Z = parameters['W' + str(c)].dot(activations['A' + str(c-1)]) + parameters['b' + str(c)]
        activations['A' + str(c)] = 1 / (1 + np.exp(-Z))
    return activations

# Neural network backpropagation function
def back_propagation(X, y, activations, parameters):
    m = y.shape[1]
    C = len(parameters) // 2
    dZ = activations['A' + str(C)] - y
    gradients = {}
    for c in reversed(range(1, C + 1)):
        gradients['dW' + str(c)] = (1/m) * np.dot(dZ, activations['A' + str(c-1)].T)
        gradients['db' + str(c)] = (1/m) * np.sum(dZ, axis=1, keepdims=True)
        if c > 1:
            dZ = np.dot(parameters['W' + str(c)].T, dZ) * activations['A' + str(c-1)] * (1 - activations['A' + str(c-1)])
    return gradients

# Neural network update function
def update(gradients, parameters, learning_rate):
    C = len(parameters) // 2
    for c in range(1, C + 1):
        parameters['W' + str(c)] = parameters['W' + str(c)] - learning_rate * gradients['dW' + str(c)]
        parameters['b' + str(c)] = parameters['b' + str(c)] - learning_rate * gradients['db' + str(c)]
    return parameters

# Neural network prediction function
def predict(X, parameters):
    activations = forward_propagation(X, parameters)
    C = len(parameters) // 2
    Af = activations['A' + str(C)]
    return (Af >= 0.5).astype(int)

# Neural network training function
def neural_network(X, y, hidden_layers=(100, 100), learning_rate=0.1, n_iter=1000):
    np.random.seed(0)
    dimensions = [X.shape[0]] + list(hidden_layers) + [y.shape[0]]
    parameters = initialization(dimensions)
    train_loss = []
    train_acc = []
    for i in tqdm(range(n_iter)):
        activations = forward_propagation(X, parameters)
        gradients = back_propagation(X, y, activations, parameters)
        parameters = update(gradients, parameters, learning_rate)
        if i % 10 == 0:
            C = len(parameters) // 2
            train_loss.append(log_loss(y, activations['A' + str(C)]))
            y_pred = predict(X, parameters)
            current_accuracy = accuracy_score(y.flatten(), y_pred.flatten())
            train_acc.append(current_accuracy)
    plt.figure(figsize=(12, 4))
    plt.subplot(1, 2, 1)
    plt.plot(train_loss, label='train loss')
    plt.legend()
    plt.subplot(1, 2, 2)
    plt.plot(train_acc, label='train acc')
    plt.legend()
    plt.show()
    return parameters

# Train the neural network
parameters = neural_network(X_train_reshape.T, y_train_onehot.T, hidden_layers=(100, 100), learning_rate=0.1, n_iter=5000)

# Predict on test data
y_pred = predict(X_test_reshape.T, parameters)

# Print accuracy on test data
test_accuracy = accuracy_score(y_test_onehot.flatten(), y_pred.flatten())
print(f"Test Accuracy: {test_accuracy}")





</code></pre>
</div>
				</div>
							<div class="elementor-toggle-item">
					<div id="elementor-tab-title-1493" class="elementor-tab-title" data-tab="3" role="button" aria-controls="elementor-tab-content-1493" aria-expanded="false">
												<span class="elementor-toggle-icon elementor-toggle-icon-left" aria-hidden="true">
															<span class="elementor-toggle-icon-closed"><i class="fas fa-caret-right"></i></span>
								<span class="elementor-toggle-icon-opened"><i class="elementor-toggle-icon-opened fas fa-caret-up"></i></span>
													</span>
												<a class="elementor-toggle-title" tabindex="0">Perceptron multicouche à la reconnaissance de chiffres manuscrits</a>
					</div>

					<div id="elementor-tab-content-1493" class="elementor-tab-content elementor-clearfix" data-tab="3" role="region" aria-labelledby="elementor-tab-title-1493">
<pre class="wp-block-code has-black-background-color has-background"><code class="language-python line-numbers" lang="python">

import numpy as np
import tensorflow as tf
import keras
import matplotlib.pyplot as plt
from keras.datasets import mnist


# Load MNIST data
(X_train, y_train), (X_test, y_test) = mnist.load_data()

# Display one image for each digit
fig, ax = plt.subplots(nrows=1, ncols=10, figsize=(20, 4))
for digit in range(10):
    digit_indices = np.where(y_train == digit)[0]
    ax[digit].imshow(255 - X_train[digit_indices[0]], cmap='gray')
    ax[digit].set_title(f'Digit {digit}')
    ax[digit].axis('off')

plt.tight_layout()
#plt.show()

# Reshape and normalize input data
X_train = X_train/ 255.0
X_test = X_test / 255.0




hidden1 = 100
hidden2 = 100

model = keras.Sequential([
    keras.layers.Input((28, 28)),
    keras.layers.Flatten(),
    keras.layers.Dense(hidden1, activation='relu'),
    keras.layers.Dense(hidden2, activation='relu'),
    keras.layers.Dense(10, activation='softmax')
])

model.compile(optimizer='adam',
              loss='sparse_categorical_crossentropy',
              metrics=['accuracy'])

batch_size = 512
epochs = 16

history = model.fit(X_train, y_train,
                    batch_size=batch_size,
                    epochs=epochs,
                    verbose=1,
                    validation_data=(X_test, y_test))

# Plot the training history
plt.plot(history.history['accuracy'], label='train accuracy')
plt.plot(history.history['val_accuracy'], label='validation accuracy')
plt.xlabel('Epochs')
plt.ylabel('Accuracy')
plt.legend()
#plt.show()

plt.plot(history.history['loss'], label='train loss')
plt.plot(history.history['val_loss'], label='validation loss')
plt.xlabel('Epochs')
plt.ylabel('Loss')
plt.legend()
#plt.show()

# Evaluate the model on the test set
score = model.evaluate(X_test, y_test, verbose=0)
print('Test Loss:', score[0])
print('Test Accuracy:', score[1])

# Predictions on the test set
y_pred = model.predict(X_test)
y_pred_classes = np.argmax(y_pred, axis=-1)






print(y_pred[0])


plt.figure(figsize=(20, 4))
plt.imshow(255 - X_test[0], cmap='gray')  
plt.title(f'Digit: {y_test[0]}')
plt.axis('off')
plt.show()

print(model.summary())



</code></pre>
<p></p>
</div>
				</div>
								</div>
						</div>
				</div>
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		<p>L’article <a href="https://theeventhorizons.com/fr/comment-construire-un-hote/">Comment Construire un Hôte ? Episode I</a> est apparu en premier sur <a href="https://theeventhorizons.com/fr/home-francais">The Event Horizons</a>.</p>
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		<title>Wall-E: Le Compacteur Terrien de Déchets</title>
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		<dc:creator><![CDATA[admin]]></dc:creator>
		<pubDate>Sat, 02 Dec 2023 19:19:35 +0000</pubDate>
				<category><![CDATA[Intelligence Artificielle]]></category>
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					<description><![CDATA[<p>En tant que robot fidèle à sa mission et entre quelques estimations d'or, Wall-E n'oublie pas sa principale tâche : trier les déchets. C'est lors de ses expéditions dans les endroits reculés de la planète qu'il découvrit le défi ultime qui stimule son esprit curieux. Parmi les objets qu'il amasse, Wall-E tombe sur une collection variée de vieux composants électroniques, certains en bon état qu'il ramène à la base, et d'autres défectueux qu'il entrepose dans un coin. </p>
<p>Passionné par de tels objets, il se met à dévisser, à arracher et à classer soigneusement chaque composant en deux catégories distinctes (classification binaire): d'un côté les pièces de métal précieuses qu'il triera plus tard (Classification multiclasse) et de l'autre le plastique sans valeur. La question fondamentale est: comment réalise t'il une telle mission ?</p>
<p>L’article <a href="https://theeventhorizons.com/fr/wall-e-le-compacteur-terrien-de-dechets/">Wall-E: Le Compacteur Terrien de Déchets</a> est apparu en premier sur <a href="https://theeventhorizons.com/fr/home-francais">The Event Horizons</a>.</p>
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										<content:encoded><![CDATA[		<div data-elementor-type="wp-post" data-elementor-id="5953" class="elementor elementor-5953">
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									<span class="elementor-button-text">	Intelligence Artificielle</span>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-xxl">Wall-E: Le Compacteur Terrien de Déchets</h2>				</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Par Jordan Moles le 2 Décembre, 2023</h2>				</div>
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									<p style="text-align: center;"><strong>En tant que robot fidèle à sa mission et entre quelques estimations d&rsquo;or, Wall-E n&rsquo;oublie pas sa principale tâche : trier les déchets. C&rsquo;est lors de ses expéditions dans les endroits reculés de la planète qu&rsquo;il découvrit le défi ultime qui stimule son esprit curieux. </strong><strong style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Parmi les objets qu&rsquo;il amasse, Wall-E tombe sur une collection variée de vieux composants électroniques, certains en bon état qu&rsquo;il ramène à la base, et d&rsquo;autres défectueux qu&rsquo;il entrepose dans un coin. </strong></p><p style="text-align: center;"><strong style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Passionné par de tels objets, il se met à dévisser, à arracher et à classer soigneusement chaque composant en deux catégories distinctes (classification binaire): d&rsquo;un côté les pièces de métal précieuses qu&rsquo;il triera plus tard (Classification multiclasse) et de l&rsquo;autre le plastique sans valeur. La question fondamentale est: comment réalise t&rsquo;il une telle mission ?</strong></p>								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Il est fortement conseillé d'avoir lu l'épisode I et II avant de continuer !</h2>				</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large">Les Nouveaux Horizons de Wall-E : La Classification</h2>				</div>
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									<p>L&rsquo;épopée de notre intrépide robot solitaire, Wall-E, prend une nouvelle dimension fascinante lors de son exploration du vaste royaume de la classification. Après avoir brillamment maîtrisé l&rsquo;art de la régression lors de l&rsquo;épisode précédent (voir l&rsquo;article <a href="https://theeventhorizons.com/fr/wall-e-le-petit-mineur-dor/">Wall-E le petit mineur d&rsquo;or</a>), Wall-E entreprend courageusement une nouvelle phase en se lançant dans le tri binaire entre métaux précieux et plastiques. Cette première étape préparatoire marque le début d&rsquo;une quête plus complexe, où Wall-E déploie avec audace ses compétences en classification pour naviguer parmi les métaux variés qui jalonnent son chemin.</p>
<p>S&rsquo;appuyant sur ses succès initiaux, Wall-E décide d&rsquo;élargir son champ d&rsquo;action en s&rsquo;attaquant à la classification multi-classe des métaux, faisant ainsi de l&rsquo;algorithme K-Nearest Neighbors (KNN) son allié privilégié. Ce nouveau défi demande à Wall-E une compréhension plus approfondie, car il doit non seulement distinguer entre deux catégories, mais également classifier différents types de métaux tels que le bronze, l&rsquo;or et l&rsquo;argent.</p>
<p>Cette nouvelle phase de son aventure marque la métamorphose de Wall-E vers des horizons de classification plus vastes et sophistiqués. Chaque étape de cette exploration confère une nouvelle dimension à ses compétences, préparant ainsi Wall-E à affronter des défis plus complexes que le simple tri binaire. Dans cette démarche, la sélection du modèle se révèle cruciale pour assurer la précision de ses prédictions. Wall-E appréhende l&rsquo;importance du processus de validation croisée et explore avec minutie les subtilités de l&rsquo;ajustement des hyperparamètres, assurant ainsi la robustesse et l&rsquo;efficacité de son modèle.</p>								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large">L'Élément Clé : Toujours Les Données</h2>				</div>
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									<p>Dans son exploration pour décoder la nature des composants électroniques, Wall-E puise dans les informations emmagasinées lors de son apprentissage avec ses créateurs. Cette démarche vise à constituer un ensemble étendu et variés d&rsquo;échantillons, s&rsquo;inscrivant en parallèle à ses défis associés à la régression.</p>								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-medium">À la Rencontre des Échantillons</h2>				</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>Chaque exemple k était un élément avec des caractéristiques spécifiques, telles que la densité \(x^{(k)}\), la conductivité thermique \(x_2^{(k)}\), électrique \(x_3^{(k)}\) etc. Pour illustrer notre cas simplement, nous allons considérer uniquement et seulement maintenant la variable densité \(x^{(k)}\). </p>
<p>Ainsi, pour chaque échantillon k, Wall-E note s&rsquo;il est un métal (étiqueté comme \(y^{(k)}=1\)) ou un plastique (étiqueté comme \(y^{(k)}=0\)). Ces échantillons et leurs étiquettes forme ainsi son ensemble de données d&rsquo;apprentissage. En voici un exemple concret de 5 échantillons (parmi les 650 qu&rsquo;il connaît déjà).</p>								</div>
				</div>
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<thead>
<tr class="row-1">
	<td class="column-1"></td><th class="column-2">Densité</th><th class="column-3">Type de  Composant</th>
</tr>
</thead>
<tbody class="row-striping row-hover">
<tr class="row-2">
	<td class="column-1">Echantillon 1</td><td class="column-2">2.165747</td><td class="column-3">Plastique</td>
</tr>
<tr class="row-3">
	<td class="column-1">Echantillon 2</td><td class="column-2">7.151579</td><td class="column-3">Métal</td>
</tr>
<tr class="row-4">
	<td class="column-1">Echantillon 3</td><td class="column-2">0.901240</td><td class="column-3">Plastique</td>
</tr>
<tr class="row-5">
	<td class="column-1">Echantillon 4</td><td class="column-2">19.24357</td><td class="column-3">Métal</td>
</tr>
<tr class="row-6">
	<td class="column-1">Echantillon 5</td><td class="column-2">12.54564</td><td class="column-3">Métal</td>
</tr>
</tbody>
</table>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-medium">Les Frontières de la Décision</h2>				</div>
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									<p>La difference avec le problème précédent est qu&rsquo;il faut définir ici ce que l&rsquo;on nomme une <strong>frontière de décision</strong>. Expliquons ce concept simplement. Au lieu de regarder chaque objet individuellement, Wall-E décide de diviser cet espace en différentes régions. Chaque région serait destinée à recevoir un type spécifique d&rsquo;objet, soit métal, soit plastique. Les limites de ces régions définiront des frontières, et c&rsquo;est là que réside le cœur du problème de classification.</p>
<p>Lorsque Wall-E dessine ces frontières, il veut s&rsquo;assurer que les objets similaires se trouvent dans la même région. Cela signifie que les objets proches en densité les uns des autres ont tendance à avoir la même étiquette, soit métal, soit plastique. Idéalement, il aimerait que ces deux groupes soient parfaitement séparés, comme s&rsquo;ils étaient dans des boîtes distinctes. Une simple ligne pourrait faire l&rsquo;affaire.</p>								</div>
				</div>
					</div>
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										</figure>
									</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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										</figure>
									</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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									<p>Cependant, la réalité n&rsquo;est pas toujours aussi simple. Parfois, il y a des objets qui sont mal placés et se retrouvent de l&rsquo;autre côté de la ligne. C&rsquo;est ce qu&rsquo;il se passe, lorsque dans notre exemple, certains plastiques ont une plus grande densité que certains métaux <span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );">(comme par exemple le caoutchouc et le lithium qui se retrouvent à gauche de la frontière de décision)</span><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">. Cela pose un défi à Wall-E. Il doit maintenant juger son travail en fonction de la qualité de la séparation. Plus la séparation est nette, mieux c&rsquo;est. Les objets mal classés sont comme des erreurs sur sa feuille de tri, et il souhaite comme d&rsquo;habitude minimiser ces erreurs.</span></p>
<p>Wall-E est aussi conscient qu&rsquo;il ne doit pas se compliquer la tâche en dessinant des frontières zigzagantes et complexes. Ces frontières compliquées pourraient capturer tous les objets, mais cela pourrait aussi le mener à un tri excessif, où chaque objet est dans sa propre région. Cela s&rsquo;appelle le sur-apprentissage (on verra ça dans quelques sections).</p>								</div>
				</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large">Création du Modèle de Classification Binaire</h2>				</div>
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									<p>Animé par le désir de donner un sens à ces composants électroniques, Wall-E s&rsquo;engage dans la création d&rsquo;un modèle de classification binaire. Ce modèle prendra les caractéristiques d&rsquo;un composant en entrée et donnera en sortie une prédiction de sa nature. Après avoir exploré différentes approches, dont la régression linéaire comme il sait faire avec la fonction \(f(x)= ax+b\) (avec les paramètres a et b) qui ne s&rsquo;ajuste absolument pas aux données,</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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									</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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										</figure>
									</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p> </p>
<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Wall-E opte plutôt pour un modèle classique de </span><strong style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Régression logistique</strong><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );"> dont la fonction associée (comprise entre 0 et 1) s&rsquo;exprime de la manière suivante</span></p>
<p>\begin{align*}<br />\sigma(x)=\frac{1}{1+\exp{(-x)}}<br />\end{align*}<br />Elle se nomme fonction logistique ou <strong>sigmoïde</strong> (à cause de sa forme en « S », voir ci-contre). </p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
				<div class="elementor-column elementor-col-50 elementor-top-column elementor-element elementor-element-64995297" data-id="64995297" data-element_type="column" data-e-type="column">
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												<figure class="wp-caption">
										<img loading="lazy" decoding="async" width="1024" height="775" src="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/Image-Sigmoid-1024x775.png" class="attachment-large size-large wp-image-5687" alt="" srcset="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/Image-Sigmoid-1024x775.png 1024w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/Image-Sigmoid-300x227.png 300w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/Image-Sigmoid-768x581.png 768w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/Image-Sigmoid.png 1242w" sizes="(max-width: 1024px) 100vw, 1024px" />											<figcaption class="widget-image-caption wp-caption-text">Représentation de la fonction logistique ou sigmoïde </figcaption>
										</figure>
									</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-28ab112e elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="28ab112e" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>En appliquant cette fonction à notre dataset on obtient<br />\begin{align*}<br />\sigma(z)=\frac{1}{1+\exp{(-z)}}<br />\end{align*}</p>
<p>ou z peut être une fonction linéaire comme \(ax+b\) ou polynomiale comme par exemple \(ax^2 +bx+c\) (polynôme de degré 2) avec a, b et c les paramètres à ajuster.</p>
<p>Le gros avantage d&rsquo;une telle fonction est que nous pouvons définir très facilement une frontière de décision en fixant ce que l&rsquo;on appelle une <strong>valeur seuil de décision</strong>.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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									<p>Pour comprendre formellement pourquoi nous introduisons une telle fonction, il faut bien comprendre que dans le monde de la classification, l&rsquo;idée pour Wall-E est d&rsquo;estimer la probabilité d&rsquo;appartenance d&rsquo;un échantillon à chaque catégorie (métal ou plastique), permettant ainsi de classer avec assurance chaque nouvelle observation dans la catégorie associée à la probabilité la plus élevée. Ainsi lorsqu&rsquo;il est proche de la bonne réponse, la probabilité doit être très proche de 1 <span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">et inversement si sa réponse s&rsquo;éloigne de la réalité alors la probabilité est presque nulle.</span></p>
<p>Le robot s&rsquo;inspire donc de cette notion fondamentale lorsqu&rsquo;il aborde le concept de la fonction sigmoïde. Il comprend que cette fonction peut être utilisée pour transformer les résultats de la Régression logistique en probabilités. Comme s&rsquo;il appliquait une sorte de filtre mathématique à son évaluation, la fonction sigmoïde attribue à chaque composant une probabilité d&rsquo;appartenir à une catégorie donnée. Ainsi si cette probabilité est supérieure à 0.5, on classifie l&rsquo;objet dans la catégorie « métal » si elle est inférieure à 0.5 ça sera du plastique.</p>								</div>
				</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large">Évaluation des Prédictions : La Fonction de Coût</h2>				</div>
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									<p>Wall-E a élaboré son modèle, mais il désire évaluer la précision de ses prédictions. Pour ce faire, il entreprend d&rsquo;utiliser une des fonction coût de la régression, la MSE (voir article <a href="https://theeventhorizons.com/fr/wall-e-le-petit-mineur-dor/">Wall-E le petit mineur d&rsquo;or</a>) définie comme suit:</p>
<p>\begin{align*}<br />MSE(a, b) =\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \left(\sigma(x^{(k)})- y^{(k)}\right)^2.<br />\end{align*}</p>								</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p> </p>
<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );"> </span></p>
<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Cependant, il se retrouve confronté à un nouveau défi de taille, comme illustré dans l&rsquo;image ci-contre.</span></p>
<p>Cette fonction de coût ne présente pas de caractère convexe; en réalité, elle comporte plusieurs minima locaux. Cette particularité rend l&rsquo;algorithme de la descente de gradient peu efficace, car, en utilisant l&rsquo;analogie d&rsquo;un relief montagneux, Wall-E risque de rester piégé dans un minimum local qui n&rsquo;est pas nécessairement le minimum global de la courbe.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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										</figure>
									</div>
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									<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Il introduit donc une nouvelle fonction coût à l&rsquo;aide de la fonction logarithme:</span></p>
<p>\begin{align*}<br />L(a,b)=-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\left[y^{(k)}\log{\left\{\sigma\left(ax^{(k)}+b\right)\right\}}+\left(1-y^{(k)}\right)\log{\left\{1-\sigma\left(ax^{(k)}+b\right)\right\}}\right]<br />\end{align*}<br />Cette fonction coût complexe, bien qu&rsquo;elle puisse sembler intimidante au premier abord, est en réalité un outil puissant pour évaluer la performance du modèle. Permettez-moi de plonger plus en profondeur pour expliquer pourquoi Wall-E a choisi cette fonction et comment elle fonctionne.</p>
<p>L&rsquo;objectif principal d&rsquo;une fonction coût est de mesurer à quel point les prédictions du modèle correspondent aux valeurs réelles. Plus cette correspondance est précise, plus la valeur de la fonction coût est basse. Dans le cas de la première fonction coût, Wall-E avait utilisé une approche plus directe, où il comparait les prédictions du modèle (obtenues en appliquant la fonction sigmoïde aux entrées pondérées) aux vraies valeurs. Cependant, il a remarqué que cette approche pouvait poser des problèmes lors de l&rsquo;optimisation.</p>
<p>La nouvelle fonction coût, introduite par Wall-E, utilise le logarithme pour une raison spécifique. Elle se compose de deux parties : une pour les cas où l&rsquo;étiquette de classe est 1 (métal) et une pour les cas où l&rsquo;étiquette est 0 (plastique). Voyons en détail comment ces parties fonctionnent.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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									<p>La première partie de la fonction de coût, lorsqu&rsquo;une étiquette est 1, est représentée par le terme suivant :<br />\begin{align*}<br />-y^{(k)}\log{\left\{\sigma\left(x^{(k)}\right)\right\}}<br />\end{align*}<br />Ici \(y^{(k)}\) est la vraie valeur de la classe pour l&rsquo;exemple d&rsquo;apprentissage k et \(x^{(k)}\) est l&rsquo;entrée correspondante. Lorsque \(y^{(k)}\) vaut 1 (l&rsquo;exemple appartient à la classe métal), et que la prédiction \(\sigma\left(x^{(k)}\right)\) se rapproche de 1, la valeur de \(-\log{\left\{\sigma\left(x^{(k)}\right)\right\}}\) tend vers 0 contribuant ainsi à une faible valeur de coût pour cet exemple (l&rsquo;erreur est faible car notre prédiction est bonne). En revanche, si la prédiction est proche de 0, la valeur de \(-\log{\left\{\sigma\left(x^{(k)}\right)\right\}}\) devient très grande, entraînant une augmentation du coût.</p>								</div>
				</div>
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										</figure>
									</div>
				</div>
					</div>
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										</figure>
									</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>La deuxième partie de la fonction de coût traite les cas où l&rsquo;étiquette est 0 :<br />\begin{align*}<br />-\left(1-y^{(k)}\right)\log{\left\{1-\sigma\left(x^{(k)}\right)\right\}}<br />\end{align*}<br />Lorsque \(y^{(k)}\) vaut 0 (l&rsquo;exemple appartient à la classe plastique) et que la prédiction \(\sigma\left(x^{(k)}\right)\) est proche de 0, le terme \(\log{\left\{1-\sigma\left(x^{(k)}\right)\right\}}\) tend vers 0, contribuant à un coût bas. Cependant, si la prédiction s&rsquo;approche de 1, \(\log{\left\{1-\sigma\left(x^{(k)}\right)\right\}}\) ce terme devient grand, augmentant ainsi le coût.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-351dec22 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="351dec22" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );">Ainsi, lorsque dans la fonction coût \(y^{(k)}\) vaut 1 seulement la première partie de la fonction agit, s&rsquo;il vaut 0 c&rsquo;est l&rsquo;autre.</span></p><p>La fonction de coût totale est la moyenne de ces deux parties, prise sur l&rsquo;ensemble des exemples d&rsquo;apprentissage n, pour obtenir une mesure globale de l&rsquo;ajustement du modèle aux données d&rsquo;entraînement. Cela permet d&rsquo;évaluer les erreurs de prédiction du modèle d&rsquo;une manière qui pénalise davantage les erreurs importantes.</p><p>Maintenant, pourquoi choisir une fonction de coût aussi complexe ? L&rsquo;objectif est de permettre une optimisation plus efficace du modèle. Cette fonction de coût présente l&rsquo;avantage de posséder une propriété de convexité, ce qui signifie qu&rsquo;elle n&rsquo;a qu&rsquo;un seul minimum global et pas de minima locaux. Cela facilite grandement l&rsquo;utilisation d&rsquo;algorithmes d&rsquo;optimisation tels que la descente de gradient pour ajuster les paramètres du modèle. En évitant les minima locaux, Wall-E peut être plus confiant que l&rsquo;optimisation aboutira à une solution de meilleure qualité.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-417837cf elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="417837cf" data-element_type="section" data-e-type="section">
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large">La Redescente de Gradient</h2>				</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>Vous vous souvenez de la descente de gradient pour la régression ? On fait exactement la même chose mais avec la nouvelle fonction coût. Algorithmiquement, on a</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>• Notre robot calcule les gradients de la fonction coût à chaque itération qui s&rsquo;écrivent mathématiquement de la manière suivante:<br />\begin{align*}<br />\frac{\partial L(a, b)}{\partial a}&amp;=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\left(\sigma\left(ax^{(k)}+b\right)-y^{(k)}\right)x^{(k)},\\<br />\frac{\partial L(a, b)}{\partial b}&amp;=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\left(\sigma\left(ax^{(k)}+b\right)-y^{(k)}\right).<br />\end{align*}<br />Par chance, on a une forme similaire à la précédente.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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												<figure class="wp-caption">
										<img loading="lazy" decoding="async" width="1000" height="563" src="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/intro-1608234708.jpg" class="attachment-large size-large wp-image-5129" alt="" srcset="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/intro-1608234708.jpg 1000w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/intro-1608234708-300x169.jpg 300w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/intro-1608234708-768x432.jpg 768w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/intro-1608234708-800x450.jpg 800w" sizes="(max-width: 1000px) 100vw, 1000px" />											<figcaption class="widget-image-caption wp-caption-text">Crédits: Disney/PIXAR</figcaption>
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									</div>
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					</div>
		</div>
					</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>• Il met à jour les paramètres avec pour nouveaux paramètres \(a^*\) et \(b^*\) qui s&rsquo;écrivent<br />\begin{align*}<br />a^*&amp;=a-\delta\times\frac{\partial L(a, b)}{\partial a}\\<br />b^*&amp;=b- \delta\times\frac{L(a, b)}{\partial b}<br />\end{align*}</p>
<p>• Il recommence jusqu&rsquo;à trouver le minimum de la fonction coût.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large">La Puissance du Petit Trieur de Déchets</h2>				</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-385e0863 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="385e0863" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>C&rsquo;est ainsi qu&rsquo;on se retrouve au cœur de sa mission de tri des déchets. Les tableaux de données s&rsquo;étalent devant lui, ornés de vecteurs et de matrices dévoilant les mystères des échantillons de composants électroniques. On retrouve le vecteur \(\mathbf{Y}\) composé de n éléments correspondant aux n échantillons de composants électroniques</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-6cba74ce elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="6cba74ce" data-element_type="section" data-e-type="section" data-settings="{&quot;background_background&quot;:&quot;classic&quot;}">
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				<div class="elementor-widget-container">
									\begin{equation*}
\mathbf{Y}=\begin{bmatrix}
y^{(1)} \\
y^{(2)} \\
\vdots\\
y^{(n)}
\end{bmatrix}
\end{equation*}								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>Aux côtés de ce vecteur, apparaît une matrice \(\mathbf{X}\) composée de n lignes et de m+1 colonnes. Cette matrice contient les caractéristiques précises de chaque échantillon, ici seulement une caractéristique de densité et sa colonne de biais,</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-5faa1cd0 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="5faa1cd0" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
									 \begin{equation*}
\mathbf{X}=\left[
\begin{array}{cc}
x^{(1)}  &#038; 1\\
x^{(2)} &#038; 1\\
\vdots &#038; \vdots\\
x^{(n)} &#038; 1
\end{array}
\right].
\end{equation*}								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-2c2d0219 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="2c2d0219" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>Souvenez-vous que de manière générale on a</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-3845a8e7 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="3845a8e7" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
									 \begin{equation*}
\mathbf{X}=\left[
\begin{array}{cccc}
   x^{(1)}_1 &#038; \cdots &#038; x^{(1)}_m &#038; 1\\
   \vdots &#038; \ddots &#038; \vdots &#038; \vdots \\
   x^{(n)}_1 &#038; \cdots &#038; x^{(n)}_m &#038; 1
\end{array}
\right].
\end{equation*}								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-17090b24 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="17090b24" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>On retrouve aussi un vecteur « paramètre » \(\mathbf{P}\) rassemblant les paramètres du modèle a et b qui nous servira à minimiser la fonction coût</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-9821ac0 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="9821ac0" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
									\begin{equation*}
\mathbf{P}=\begin{bmatrix}
a \\
b
\end{bmatrix}.
\end{equation*}								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-56767243 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="56767243" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>Cette tâche de classification peut être comparée à un problème qu&rsquo;il a déjà résolu, où il estimait le prix de l&rsquo;or en fonction de sa pureté. Pour résoudre ce nouveau défi, Wall-E utilise une approche similaire basée sur la fonction sigmoïde, traduisant ses calculs sous forme matricielle.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-7442ec1d elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="7442ec1d" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p><strong>• La Récolte</strong> s&rsquo;effectue en affichant les données dans une matrice : chaque échantillon, avec ses caractéristiques de densité et sa classe, trouve sa place dans cette matrice.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-2829e4b6 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="2829e4b6" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p><strong>• La Création du Modèle</strong> est le processus où Wall-E définit les paramètres affichés dans la colonne \(\mathbf{P}\) prise au hasard qui servent à établir la relation entre la densité et la nature du composant à l&rsquo;aide de la sigmoïde sous la forme matricielle un peu barbare (ou on fait agir la sigmoïde sur chaque coordonnée)</p><p>\begin{equation*}<br />\mathbf{\sigma(X\times P)}=\left[<br />\begin{array}{c}<br />\frac{1}{1+\exp{(-ax^{(1)}+b)}}\\<br />\frac{1}{1+\exp{(-ax^{(2)}+b)}} \\<br />\vdots \\<br />\frac{1}{1+\exp{(-ax^{(n)}+b)}} \\<br />\end{array}<br />\right].<br />\end{equation*}</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-1162fc53 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="1162fc53" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p><strong>• La Fonction Coût</strong> est redéfinie de la manière suivante:<br />\begin{align*}<br />L(\mathbf{P})=-\frac{1}{n}\left[\mathbf{Y\cdot\log{\left\{\sigma(X\times P)\right\}}}+\mathbf{(1-Y)\cdot\log{\left\{1-\sigma(X\times P)\right\}}}\right].<br />\end{align*}</p>
<p>ou le \(\cdot\) est le produit scalaire.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-6e42cacb elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="6e42cacb" data-element_type="section" data-e-type="section">
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									<p><strong>• Trouver le minimum</strong> revient à calculer le gradient:<br />\begin{align*}<br />\frac{\partial }{\partial \mathbf{P}} L(\mathbf{P})=\frac{1}{n}\mathbf{X\cdot\left(\sigma(X\times P)-Y\right)}<br />\end{align*}<br />et à appliquer itérativement la descente de gradient pour mettre à jour le paramètre \(\textbf{P}\):<br />\begin{align*}<br />\mathbf{P^*}=\mathbf{P}-\delta \frac{\partial }{\partial \mathbf{P}}L(\mathbf{P})<br />\end{align*}<br />ou \(\mathbf{P^*}\) est le nouveau paramètre.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
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									<p>Wall-E, grâce à une exécution rigoureuse de toutes les étapes requises, a perfectionné sa capacité à trier le plastique du métal. Il est maintenant prêt à classer chaque matériel que vous lui fournissez ! Découvrez la courbe finale qu&rsquo;il a obtenue.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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										<img loading="lazy" decoding="async" width="1024" height="614" src="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/12/Image-Final-1024x614.png" class="attachment-large size-large wp-image-5790" alt="" srcset="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/12/Image-Final-1024x614.png 1024w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/12/Image-Final-300x180.png 300w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/12/Image-Final-768x461.png 768w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/12/Image-Final-1536x921.png 1536w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/12/Image-Final.png 1994w" sizes="(max-width: 1024px) 100vw, 1024px" />											<figcaption class="widget-image-caption wp-caption-text">Représentation finale de la fonction sigmoïde s'ajustant au mieux aux données présentes</figcaption>
										</figure>
									</div>
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									<p>Notre robot préféré a opté pour l&rsquo;utilisation d&rsquo;une fonction linéaire dans sa régression logistique. Les paramètres optimaux qu&rsquo;il a déterminés après la descente de gradient sont a = 16.85 et b = 9.71.</p>
<p>L&rsquo;analyse du graphique révèle que si le robot rencontre un objet en nature avec une densité de 1.5, par exemple, il peut affirmer avec une précision d&rsquo;environ 80 % qu&rsquo;il s&rsquo;agit d&rsquo;un plastique. Pour une densité de 0.5, il peut identifier le matériau comme du plastique avec une précision de 98 %, tandis qu&rsquo;une densité de 4 le conduit à conclure à un métal avec une précision de 99 %.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
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									<p>Ainsi, grâce à son modèle de régression logistique, le robot peut, de manière générale, déterminer avec une précision de 93 % si le matériau fourni est du métal ou du plastique. Toutefois, pour affiner davantage ses prédictions, il serait bénéfique d&rsquo;explorer des fonctionnalités plus complexes dans la fonction sigmoïde, telles que l&rsquo;utilisation de polynômes avec un plus grand nombre de paramètres à ajuster par exemple.</p>
<p>De plus, le modèle pourrait être considérablement amélioré en adoptant des algorithmes plus sophistiqués que la régression logistique. Des approches telles que les forêts d&rsquo;arbres décisionnels (Random Forest), les machines à vecteurs de support (SVM), ou même les K plus proches voisins (que nous allons explorer dans les prochaines sections) pourraient offrir des performances optimisées.</p>
<p>Une autre stratégie pour renforcer la capacité du modèle serait de lui fournir un ensemble plus large de caractéristiques, telles que la conductivité électrique, thermique, etc ou d&rsquo;augmenter le nombre de données. En enrichissant ainsi l&rsquo;ensemble de données, le robot pourrait améliorer sa compréhension des nuances existantes entre différents types de matériaux, conduisant à des classifications plus précises et robustes.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large">Au-delà du Tri de Déchets : Déterminer le Type de Métal</h2>				</div>
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									<p>Explorant plus profondément le domaine de la classification des métaux, Wall-E se confronte à un défi plus complexe : la détermination du type spécifique de métal parmi une variété d&rsquo;alliages comprenant le bronze, l&rsquo;or, l&rsquo;argent, et bien d&rsquo;autres.</p>
<p>Pour relever ce défi, l&rsquo;outil de prédilection de Wall-E devient l&rsquo;algorithme des K plus proches voisins (KNN), également connu sous le nom de K-nearest neighbor.</p>
<p>Il est à noter que nous avons créé de toutes pièces le jeu de données en sélectionnant les caractéristiques des échantillons de manière aléatoire, mais suffisamment proche des valeurs fixes de densité et de conductivité électrique des métaux purs <span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );">(c&rsquo;est une valeur qui détermine l&rsquo;aptitude d&rsquo;un métal à conduire l&rsquo;électricité). Voici la liste de tous les métaux purs que nous avons enregistré pour Wall-E avec leurs caractéristiques respectives.</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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<table id="tablepress-26" class="tablepress tablepress-id-26">
<thead>
<tr class="row-1">
	<th class="column-1">Type de Métal</th><th class="column-2">Conductivité Electrique (en  Giga S/m)</th><th class="column-3">Densité</th>
</tr>
</thead>
<tbody class="row-striping row-hover">
<tr class="row-2">
	<td class="column-1">Acier</td><td class="column-2">1.5</td><td class="column-3">7.500 - 8.100</td>
</tr>
<tr class="row-3">
	<td class="column-1">Aluminium </td><td class="column-2">37.7</td><td class="column-3">2.700</td>
</tr>
<tr class="row-4">
	<td class="column-1">Argent</td><td class="column-2">63</td><td class="column-3">10.500</td>
</tr>
<tr class="row-5">
	<td class="column-1">Béryllium</td><td class="column-2">31.3</td><td class="column-3">1.848</td>
</tr>
<tr class="row-6">
	<td class="column-1">Bronze</td><td class="column-2">7.4</td><td class="column-3">8.400 - 9.200</td>
</tr>
<tr class="row-7">
	<td class="column-1">Carbone (graphite)</td><td class="column-2">61</td><td class="column-3">2.250</td>
</tr>
<tr class="row-8">
	<td class="column-1">Cuivre</td><td class="column-2">59.6</td><td class="column-3">8.960</td>
</tr>
<tr class="row-9">
	<td class="column-1">Etain</td><td class="column-2">9.17</td><td class="column-3">7.290</td>
</tr>
<tr class="row-10">
	<td class="column-1">Fer</td><td class="column-2">9.93</td><td class="column-3">7.860</td>
</tr>
<tr class="row-11">
	<td class="column-1">Iridium</td><td class="column-2">19.7</td><td class="column-3">22.560</td>
</tr>
<tr class="row-12">
	<td class="column-1">Lithium</td><td class="column-2">10.8</td><td class="column-3">5.30</td>
</tr>
<tr class="row-13">
	<td class="column-1">Magnésium</td><td class="column-2">22.6</td><td class="column-3">1.750</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<!-- #tablepress-26 from cache --></div>
						</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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<table id="tablepress-27" class="tablepress tablepress-id-27">
<thead>
<tr class="row-1">
	<td class="column-1"></td><td class="column-2"></td><td class="column-3"></td>
</tr>
</thead>
<tbody class="row-striping row-hover">
<tr class="row-2">
	<td class="column-1">Mercure</td><td class="column-2">1.04</td><td class="column-3">13.545</td>
</tr>
<tr class="row-3">
	<td class="column-1">Molybdène</td><td class="column-2">18.7</td><td class="column-3">10.200</td>
</tr>
<tr class="row-4">
	<td class="column-1">Nickel</td><td class="column-2">14.3</td><td class="column-3">8.900</td>
</tr>
<tr class="row-5">
	<td class="column-1">Or </td><td class="column-2">45.2</td><td class="column-3">19.300</td>
</tr>
<tr class="row-6">
	<td class="column-1">Osmium</td><td class="column-2">10.9</td><td class="column-3">22.610</td>
</tr>
<tr class="row-7">
	<td class="column-1">Palladium</td><td class="column-2">9.5</td><td class="column-3">12.000</td>
</tr>
<tr class="row-8">
	<td class="column-1">Platine</td><td class="column-2">9.66</td><td class="column-3">21.450</td>
</tr>
<tr class="row-9">
	<td class="column-1">Plomb</td><td class="column-2">4.81</td><td class="column-3">11.350</td>
</tr>
<tr class="row-10">
	<td class="column-1">Potassium</td><td class="column-2">13.9</td><td class="column-3">0.850</td>
</tr>
<tr class="row-11">
	<td class="column-1">Tantale</td><td class="column-2">7.61</td><td class="column-3">16.600</td>
</tr>
<tr class="row-12">
	<td class="column-1">Titane</td><td class="column-2">2.34</td><td class="column-3">4.500</td>
</tr>
<tr class="row-13">
	<td class="column-1">Tungstène</td><td class="column-2">8.9</td><td class="column-3">19.300</td>
</tr>
<tr class="row-14">
	<td class="column-1">Uranium</td><td class="column-2">3.8</td><td class="column-3">19.100</td>
</tr>
<tr class="row-15">
	<td class="column-1">Vanadium</td><td class="column-2">4.89</td><td class="column-3">6.100</td>
</tr>
<tr class="row-16">
	<td class="column-1">Zinc</td><td class="column-2">16.6</td><td class="column-3">7.150</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<!-- #tablepress-27 from cache --></div>
						</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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									<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;">Cela simule ainsi des alliages métalliques, où chaque alliage est considéré comme composé d&rsquo;un métal pur à déterminer et d&rsquo;impuretés modifiant légèrement ses caractéristiques. La base de données de Wall-E comporte 300 échantillons pour chaque type d&rsquo;alliage métallique. En voici cinq, chacun caractérisé par ses propriétés distinctives.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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<table id="tablepress-28" class="tablepress tablepress-id-28">
<thead>
<tr class="row-1">
	<th class="column-1">Type de Métal</th><th class="column-2">Conductivité Electrique (en  Giga S/m)</th><th class="column-3">Densité</th>
</tr>
</thead>
<tbody class="row-striping row-hover">
<tr class="row-2">
	<td class="column-1">Acier</td><td class="column-2">2.7093</td><td class="column-3">7.7446</td>
</tr>
<tr class="row-3">
	<td class="column-1">Vanadium</td><td class="column-2">5.8000</td><td class="column-3">7.5000</td>
</tr>
<tr class="row-4">
	<td class="column-1">Fer</td><td class="column-2">9.2600</td><td class="column-3">8.4000</td>
</tr>
<tr class="row-5">
	<td class="column-1">Or</td><td class="column-2">43.000</td><td class="column-3">18.500</td>
</tr>
<tr class="row-6">
	<td class="column-1">Bronze</td><td class="column-2">7.51320</td><td class="column-3">8.7000</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<!-- #tablepress-28 from cache --></div>
						</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-553ba8e7 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="553ba8e7" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;">Le but de Wall-E sera donc de classifier chaque échantillon métallique qu&rsquo;il trouvera en fonction de sa densité et de sa conductivité électrique dans une catégorie de métaux purs.</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-26925470 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="26925470" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-medium">Contraste avec la Classification Binaire et Complexités de la Classification Multiclasse</h2>				</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-37b1c9c3 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="37b1c9c3" data-element_type="section" data-e-type="section">
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									<p><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;">Wall-E, après avoir maîtrisé la classification binaire pour distinguer les métaux précieux des plastiques, se rend compte que l&rsquo;étape suivante, la classification multiclasse, représente un défi plus complexe. Alors que la classification binaire divise simplement les objets en deux catégories distinctes, tels que métal ou plastique, Wall-E doit maintenant différencier entre des types spécifiques. La simplicité d&rsquo;une frontière de décision comme une droite, utilisée dans la classification binaire, ne suffit plus. </span></p>								</div>
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										</figure>
									</div>
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									<p><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;">Dans ce nouveau territoire, Wall-E doit naviguer dans un espace caractéristique complexe où les métaux peuvent tous se chevaucher. Cette complexité donc exige une approche plus raffinée, et c&rsquo;est ici que Wall-E se tourne vers une méthode qui prend en compte les subtilités des relations entre les métaux.</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-medium">Le Pouvoir de la Proximité : K Nearest Neighbors</h2>				</div>
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									<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;">Dans cette quête, Wall-E se tourne vers l&rsquo;algorithme KNN, ou K plus proches voisins, est une méthode de classification basée sur le concept fondamental de proximité dans l&rsquo;espace des caractéristiques.</p>
<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;">L&rsquo;idée essentielle derrière KNN consiste à regrouper des objets similaires dans l&rsquo;espace des caractéristiques. Dans notre contexte, cela signifie que si un morceau de bronze partage des caractéristiques similaires avec d&rsquo;autres morceaux de bronze, ces objets seront situés à proximité les uns des autres dans cet espace multidimensionnel. Wall-E exploite habilement cette notion pour assigner à chaque morceau de métal une étiquette correspondant à son type.</p>								</div>
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									<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );"> </span></p>
<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Son processus de fonctionnement est assez intuitif. Lorsqu&rsquo;un nouveau morceau de métal doit être classifié, Wall-E mesure ses caractéristiques spécifiques, telles que la densité, la conductivité électrique, etc., le positionnant ainsi dans l&rsquo;espace des caractéristiques. Ensuite, l&rsquo;algorithme identifie les k voisins les plus proches de ce nouveau morceau dans cet espace. Ces voisins sont les morceaux de métal qui partagent des caractéristiques similaires.</span></p>
<p>Une fois les voisins identifiés, KNN attribue au nouveau morceau le type de métal qui recueille le plus de votes parmi ces voisins proches. C&rsquo;est comme si chaque voisin votait pour la catégorie à laquelle il appartient, et le type de métal avec le plus grand nombre de votes est attribué au nouveau morceau.</p>								</div>
				</div>
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										</figure>
									</div>
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					</div>
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									<p><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;">Cette approche flexible et basée sur la proximité permet à Wall-E de classer avec précision les métaux, même sans avoir une compréhension approfondie des caractéristiques spécifiques de chaque type. Ainsi, KNN devient un allié efficace dans la quête de Wall-E pour déterminer le type de métal en exploitant la puissance du voisinage dans l&rsquo;espace des caractéristiques.</span></p>								</div>
				</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-medium">Processus de Classification Métallique: les Voisins à l'Action</h2>				</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>Wall-E recherche dans sa base de données relativement étendu, comprenant divers types de métaux et alliages, chacun associé à des caractéristiques spécifiques telles que la conductivité électrique, la densité et d&rsquo;autres propriétés uniques. Ces caractéristiques constituent les dimensions de l&rsquo;espace caractéristique où chaque métal est représenté. Malheureusement, il n&rsquo;a pas eu le temps de mesurer toutes les propriétés de chaque métal et doit donc composer seulement avec la densité et la conductivité électrique.</p>
<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Lorsqu&rsquo;un nouveau morceau de métal se présente, Wall-E active l&rsquo;algorithme KNN pour déterminer son type. Le processus se déroule comme suit :</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;">• <span style="font-size: 15px; font-weight: 600;">Mesure des Caractéristiques</span>: Wall-E mesure les caractéristiques du nouveau morceau de métal, le plaçant ainsi dans l&rsquo;espace caractéristique.</p>
<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;">• <span style="font-size: 15px; font-weight: 600;">Identification des Voisins Proches</span>: KNN identifie les k voisins les plus proches du nouveau morceau dans cet espace. Ces voisins sont les morceaux de métal qui partagent des caractéristiques similaires.</p>
<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;">• <span style="font-size: 15px; font-weight: 600;">Majorité des Votes</span>: En examinant les types de métal des voisins, Wall-E attribue au nouveau morceau le type qui recueille le plus de votes parmi les voisins proches c&rsquo;est à dire le type de métal majoritaire.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
				<div class="elementor-column elementor-col-50 elementor-top-column elementor-element elementor-element-43419444" data-id="43419444" data-element_type="column" data-e-type="column">
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												<figure class="wp-caption">
										<img loading="lazy" decoding="async" width="480" height="288" src="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/Image-611929-wall_e_6.jpg" class="attachment-large size-large wp-image-5696" alt="" srcset="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/Image-611929-wall_e_6.jpg 480w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/Image-611929-wall_e_6-300x180.jpg 300w" sizes="(max-width: 480px) 100vw, 480px" />											<figcaption class="widget-image-caption wp-caption-text">Crédits: Disney/PIXAR</figcaption>
										</figure>
									</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-1da9b5bc elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="1da9b5bc" data-element_type="section" data-e-type="section">
						<div class="elementor-container elementor-column-gap-default">
					<div class="elementor-column elementor-col-100 elementor-top-column elementor-element elementor-element-5b8b802c" data-id="5b8b802c" data-element_type="column" data-e-type="column">
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;">Ce processus de voisinage et de vote permet à Wall-E de classer avec précision le nouveau morceau de métal, même sans une connaissance approfondie des caractéristiques spécifiques de chaque type. Ce qu&rsquo;il réussit à merveille !&nbsp;</span></p>
<p><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;">Lancé dans une quête à la recherche d&rsquo;artefacts électroniques à bord de son vaisseau spatial, notre explorateur intrépide s&rsquo;engage dans un processus méticuleux de démontage et de mesure, scrutant la densité et la conductivité électrique de chaque composant inconnu. Grâce à l&rsquo;algorithme KNN, finement réglé avec un paramètre k optimal de 20 voisins, choisi après des essais approfondis (voir la prochaine section), il peut affirmer avec une assurance avoisinant les 95% sa capacité à identifier n&rsquo;importe quel alliage métallique.</span><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;"><br></span></p>
<p><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;">Une prouesse technologique qui atteste de la précision de ses classifications.</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-17b38ad3 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="17b38ad3" data-element_type="section" data-e-type="section">
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												<figure class="wp-caption">
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										</figure>
									</div>
				</div>
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									<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );"> </span></p>
<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Le premier objet soumis à son analyse dévoile une densité de 18.5 et une conductivité électrique de 43 gigasiemens par mètre. Notre explorateur est envahi d&rsquo;enthousiasme en réalisant qu&rsquo;il a mis la main sur de l&rsquo;or ! </span></p>
<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Mieux encore, sa certitude atteint un score impressionnant de 100% (comme le suggère clairement le graphique ci-contre).</span></p>
<p> </p>								</div>
				</div>
					</div>
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									<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Le deuxième composant captivant son attention est une plaque métallique grisâtre, arborant des traces de rouille. Les mesures révèlent une densité de 8.4 et une conductivité électrique de 9.26 </span><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;">gigasiemens</span><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );"> par mètre. </span></p>
<p>L&rsquo;application de son algorithme KNN laisse entrevoir un fort indice de probabilité pour un alliage de fer, avec une certitude de 70%. Cependant, une part d&rsquo;incertitude subsiste, l&rsquo;amenant à envisager également des possibilités telles que du bronze (20% probable) ou de l&rsquo;étain (10% probable). Le mystère persiste, dévoilant la complexité des éléments métalliques découverts.</p>								</div>
				</div>
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		</div>
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										</figure>
									</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p> </p>
<p> </p>
<p>Enfin, le dernier composant, de densité 7.5 et de conductivité électrique 5.8 gigasiemens par mètre, révèle une composition métallique complexe. </p>
<p>L&rsquo;analyse approfondie de l&rsquo;algorithme KNN indique une prédominance de d&rsquo;un métal particulièrement rare: le vanadium, probable à environ 70% . Il est suivi de près par de l&rsquo;étain à hauteur de 25%, et enfin de fer à une proportion de 5%. </p>								</div>
				</div>
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									<p>Wall-E assimile rapidement les subtilités du processus d&rsquo;analyse, notamment la complexité qui surgit lorsque les métaux se chevauchent sur le graphique. Il reconnaît que prédire avec une certitude absolue de 100% peut devenir délicat dans ces situations. Cependant, en dépit de ces défis, les résultats obtenus par l&rsquo;algorithme KNN restent exceptionnels.</p>
<p>Les performances de l&rsquo;algorithme dans la classification des métaux, même dans des scénarios où les caractéristiques se superposent, témoignent de son efficacité et de sa robustesse. Ainsi, Wall-E peut exploiter cette technique puissante pour explorer et classifier divers composants métalliques avec une confiance accrue. </p>								</div>
				</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large">L'Art de la Sélection du Modèle</h2>				</div>
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									<p>Au cœur de sa quête du tri des composants électroniques (Classification) et même de l&rsquo;estimation du prix de l&rsquo;or (Régression), le petit robot prend conscience de la nécessité de naviguer avec prudence. </p>								</div>
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					</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-medium">Exploration de Nouveaux Horizons : Entraînement et Test</h2>				</div>
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									<p>Il saisit rapidement l&rsquo;importance de ne jamais évaluer son modèle sur les mêmes données qui ont servi à son entraînement.</p>								</div>
				</div>
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									<p>Pour illustrer ce point, imaginons que Wall-E enseigne à de jeunes robots à analyser des météorites, en dispensant plusieurs cours et en proposant des exercices d&rsquo;application pour leur entraînement dans le but de les évaluer à la fin de leur cycle scolaire.</p>
<p>Cependant, Wall-E est conscient que s&rsquo;il contrôle la performance de ses apprentis sur les mêmes météorites utilisées durant sa classe, cela rendrait la tâche bien trop simple. Les robots se contenteraient simplement de reconnaître des caractéristiques spécifiques déjà rencontrées, sans véritable compréhension.</p>								</div>
				</div>
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									<p><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;">Afin d&rsquo;éviter cette partialité, Wall-E met en place une approche astucieuse : il divise l&rsquo;ensemble des exercices (son ensemble de données) en deux parties distinctes, créant ainsi l&rsquo;<strong>ensemble d&rsquo;entraînement</strong> (le train set) et l&rsquo;<strong>ensemble de test</strong> (test set).</span></p>
<p>Le train set, qui représente généralement 80 pour cent des données, est dédié à l&rsquo;entraînement du modèle; Wall-E guide les jeunes robots à travers les cours et exercices en utilisant ces données. <span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">En revanche, le test set, constitué de 20 pour cent des données, est réservé à l&rsquo;évaluation finale du modèle.</span></p>
<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Ainsi, lorsqu&rsquo;il teste les connaissances acquises par les robots sur de nouvelles météorites, Wall-E s&rsquo;assure qu&rsquo;ils peuvent appliquer leurs compétences à des situations inédites, évitant ainsi la simple mémorisation des données d&rsquo;entraînement. Ce processus garantit que le modèle est capable de généraliser et de fournir des prédictions précises même sur des données non vues auparavant.</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
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				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-777f08b5 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="777f08b5" data-element_type="section" data-e-type="section">
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-medium">Élévation vers l'Excellence : Validation du Modèle</h2>				</div>
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									<p>Fier de ses compétences en matière d&rsquo;entraînement et d&rsquo;évaluation des modèles de machine learning, Wall-E, en tant que data scientist chevronné, s&rsquo;engage maintenant dans l&rsquo;amélioration de la précision de son modèle. Pour ce faire, il doit ajuster les hyperparamètres du modèle, une tâche similaire à affiner les réglages d&rsquo;une antenne radio pour une réception optimale. Par exemple, dans le cas de son modèle précédent, ajuster le nombre de voisins de son KNN Classifier.</p>
<p>Cependant, Wall-E est conscient des pièges qui pourraient surgir s&rsquo;il optimise les performances de son modèle sur le test set. Cela rendrait les données du test set inutilisables pour l&rsquo;évaluation finale. Pour éviter cela, Wall-E introduit une troisième section dans son ensemble de données : l&rsquo;<strong>ensemble de validation </strong>(validation set). Cette section lui permet d&rsquo;explorer les réglages du modèle qui offrent les meilleures performances, tout en préservant les données du test set pour une évaluation impartiale.</p>
<p>Lorsqu&rsquo;il compare différents modèles, tels que les KNN Classifiers avec 2, 3, 20 ou même 100 voisins, Wall-E suit une méthodologie rigoureuse. Il commence par entraîner ces modèles sur l&rsquo;ensemble d&rsquo;entraînement. Ensuite, il sélectionne le modèle qui offre les meilleures performances sur l&rsquo;ensemble de validation. Enfin, pour estimer la performance réelle dans des situations du monde réel, il évalue ce modèle choisi sur l&rsquo;ensemble de test.</p>
<p>Wall-E illustre ces choix en traçant deux courbes essentielles : la performance sur l&rsquo;ensemble d&rsquo;entraînement et la performance sur l&rsquo;ensemble de validation.</p>								</div>
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									<p></p>
<p>Les courbes ci-contre représentent les scores d&rsquo;entraînement et de validation en fonction des différentes valeurs du paramètre exploré, tel que le nombre de voisins dans le cas des KNN Classifiers.&nbsp;</p>
<p>Cette visualisation permet de détecter des tendances cruciales, notamment le sur-ajustement (overfitting) ou le sous-ajustement (underfitting) du modèle en fonction des valeurs du paramètre.</p>								</div>
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										</figure>
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									<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;">Plus précisément, la courbe de validation pour le nombre de voisins (k) dans le KNN offre des réponses à des questions clés.</p>
<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;"><span style="font-size: 15px; font-weight: 600;">• Sur-ajustement :</span> L&rsquo;écart significatif entre le score d&rsquo;entraînement et le score de validation peut indiquer un sur-ajustement, signifiant que le modèle est trop complexe et perd en généralisation. L&rsquo;overfitting est un comportement indésirable en apprentissage automatique qui se produit lorsque le modèle d&rsquo;apprentissage donne des prédictions précises pour les données d&rsquo;entraînement, mais pas pour de nouvelles données.</p>
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<div data-message-author-role="assistant" data-message-id="91f3d206-6a33-4f44-9628-de75ae7bfb99">
<div>
<p><strong>• Sous-ajustement </strong><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">: En revanche, lorsqu&rsquo;un modèle n&rsquo;a pas bien appris les motifs dans les données d&rsquo;entraînement et ne parvient pas à généraliser correctement sur de nouvelles données, on parle de sous-apprentissage. Un modèle sous-apprenant présente des performances médiocres sur les données d&rsquo;entraînement et conduit à des prédictions peu fiables.</span></p>
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<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;"><span style="font-size: 15px; font-weight: 600;">• Sensibilité au Choix du Paramètre :</span> L&rsquo;observation des variations de performance du modèle avec différentes valeurs du nombre de voisins permet à Wall-E de choisir une valeur optimale de k, maximisant ainsi les performances du modèle.</p>
<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;">En adoptant cette approche méthodique, Wall-E s&rsquo;assure de prendre des décisions éclairées pour la configuration optimale de son modèle, évitant ainsi les pièges du sur-ajustement ou du sous-ajustement, et garantissant des performances optimales dans des contextes du monde réel.</p>
<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;">Dans son cas, les deux courbes atteignent rapidement le score de 95,7% de précision à partir d&rsquo;environ 20 à 25 voisins et stagnent autour de cette valeur lorsque le nombre de voisins augmente. Une analyse approfondi des courbes (que nous ne détaillerons pas ici) indiquera que<span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );"> le score optimal est de 20 voisins. </span></p>
<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;">Bien qu&rsquo;il ait une compréhension approfondie du processus, Wall-E sait qu&rsquo;il reste un dernier détail crucial : comment garantir que la découpe de l&rsquo;ensemble de données est la meilleure ? Il trouve la solution dans la cross-validation.</p>								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-medium">La Danse des Modèles : Validation Croisée</h2>				</div>
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									<p>Wall-E utilise une méthodologie de validation croisée astucieuse pour renforcer la robustesse de la sélection de son modèle. En particulier, il adopte la méthode K-fold, où l&rsquo;ensemble de données est fractionné en K parties (ici 5 parties). Pendant l&rsquo;entraînement, le modèle de Wall-E est systématiquement entraîné sur K-1 de ces partitions et validé sur la partition restante, répétant ce processus K fois. Cela garantit une évaluation plus fiable et stable de la performance du modèle, en s&rsquo;assurant qu&rsquo;aucune partition particulière n&rsquo;influence excessivement les résultats.</p>
<p>De plus, Wall-E exploite également le Stratified K-fold, une variante intelligente du K-fold, qui prend en compte la distribution des classes dans l&rsquo;ensemble de données. Cette approche garantit que chaque fold maintient une représentation proportionnelle de toutes les classes, ce qui est crucial lorsque les classes ne sont pas équitablement réparties. Ainsi, Wall-E assure une sélection de modèle robuste, résistant aux variations de découpage des données, tout en tenant compte de la distribution des classes pour une évaluation encore plus précise. </p>
<p>Il existe évidemment d&rsquo;autres découpages qui s&rsquo;adaptent plus ou moins efficacement selon les données à notre disposition dont nous parlerons dans un prochain article.</p>								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-medium">Les Vagues de l'Apprentissage : Courbes d'Apprentissage</h2>				</div>
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									<p>Curieux de déterminer si son modèle peut bénéficier d&rsquo;une amélioration par l&rsquo;ajout de données supplémentaires, Wall-E s&rsquo;engage dans une exploration plus approfondie en examinant les courbes d&rsquo;apprentissage.</p>
<p>Ces courbes offrent une représentation visuelle de l&rsquo;évolution des performances du modèle en fonction de la quantité de données d&rsquo;entraînement fournie. Bien que l&rsquo;ajout de données puisse initialement conduire à une amélioration des performances, Wall-E a la perspicacité de reconnaître que ces avantages finissent par atteindre un seuil. La compréhension du moment où le modèle atteint ses limites devient ainsi une sagesse inestimable, permettant une utilisation judicieuse du temps et des ressources.</p>
<p></p>								</div>
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									<p>En examinant cette courbe, il remarque qu&rsquo;une estimation suffisamment précise aurait pu être obtenue en utilisant moins de 1000 échantillons de métaux, soit environ 37 alliages de chaque type. Même en accumulant 300 échantillons de métaux pour chaque type (300 fois 27, soit 8100 objets), il observe que cela n&rsquo;apporte guère d&rsquo;amélioration significative à son modèle (sa précision stagne à 95,7%). Heureusement qu&rsquo;il collecte des données par plaisir !</p>
<p>Ainsi, Wall-E danse avec agilité au rythme des vagues de l&rsquo;apprentissage, naviguant avec finesse dans le paysage complexe de la sélection du modèle. En maîtrisant les subtilités des courbes d&rsquo;apprentissage, Wall-E s&rsquo;assure de tirer le meilleur parti de son processus d&rsquo;amélioration du modèle.</p>								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large">La Fin d'une Trilogie, le Début d'une Ère Technologique</h2>				</div>
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									<p>Ce dernier épisode marque la conclusion émouvante de la saga captivante du petit robot Wall-E, une aventure qui a débuté avec les fondamentaux du machine learning et de l&rsquo;apprentissage supervisé. Depuis ses premiers pas dans le royaume de l&rsquo;intelligence artificielle, Wall-E a évolué à travers divers chapitres, explorant les principes de base de l&rsquo;apprentissage automatique, plongeant dans l&rsquo;étude approfondie de la régression, et finalement, gravissant les sommets complexes de la classification.</p>
<p>La première étape a vu Wall-E apprendre les tenants et aboutissants de l&rsquo;apprentissage supervisé, une discipline qui lui a permis de comprendre comment utiliser une base de données pour entraîner un modèle. Cette phase inaugurale a jeté les bases de sa quête pour comprendre le monde complexe des données et des algorithmes.</p>
<p>Le deuxième acte de cette saga a plongé le robot dans l&rsquo;univers de la régression, où il a appris à prédire des valeurs continues en fonction de variables d&rsquo;entrée (l&rsquo;or en fonction de sa pureté). Ce chapitre a élargi ses horizons, l&rsquo;amenant à maîtriser des concepts tels que la descente de gradient et la fonction coût, des outils essentiels dans sa boîte à outils d&rsquo;apprentissage automatique.</p>
<p>Enfin, le dernier épisode a vu notre data-scientist en herbe se confronter à la classification, un défi encore plus complexe impliquant la distinction entre différents types de composants électroniques. Des débuts modestes avec le tri binaire (métal-plastique<span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">) ont évolué vers une exploration audacieuse de la classification multi-classe  (tri de métaux précieux), mettant en lumière des techniques telles que l&rsquo;algorithme K Nearest Neighbors et la sélection minutieuse de modèles.</span></p>
<p>Ainsi, cette conclusion poignante de la saga de Wall-E symbolise non seulement la fin d&rsquo;une histoire exceptionnelle, mais aussi la réalisation d&rsquo;un apprentissage progressif et méthodique dans le vaste royaume de l&rsquo;apprentissage automatique. Le petit robot trieur de déchets a parcouru un chemin impressionnant, de la compréhension des concepts de base à la maîtrise de techniques sophistiquées, laissant derrière lui un héritage d&rsquo;apprentissage et de persévérance. Cette saga, riche en enseignements, se clôture avec la certitude que Wall-E est désormais prêt à affronter de nouveaux défis dans le monde complexe de l&rsquo;intelligence artificielle. Qui sait, peut-être qu&rsquo;un jour il parviendra à égaler EVE, ouvrant ainsi la voie à de nouvelles explorations et découvertes.</p>								</div>
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										<img loading="lazy" decoding="async" width="790" height="440" src="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/12/Image-6da1e10acbc3a69fcf18528dff36bde6.jpg" class="attachment-large size-large wp-image-5853" alt="" srcset="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/12/Image-6da1e10acbc3a69fcf18528dff36bde6.jpg 790w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/12/Image-6da1e10acbc3a69fcf18528dff36bde6-300x167.jpg 300w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/12/Image-6da1e10acbc3a69fcf18528dff36bde6-768x428.jpg 768w" sizes="(max-width: 790px) 100vw, 790px" />											<figcaption class="widget-image-caption wp-caption-text">Crédits: Disney/PIXAR</figcaption>
										</figure>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large">Bibliographie</h2>				</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>G. James, D. Witten, T. Hastie et R. Tibshirani, An Introduction to Statistical Learning, Springer Verlag, coll. « Springer Texts in Statistics », 2013.</p>
<p>D. MacKay, Information Theory, Inference, and Learning Algorithms, Cambridge University Press, 2003.</p>
<p>T. Mitchell, Machine Learning, 1997.</p>
<p>F. Galton,  Kinship and Correlation, Statistical Science, Institute of Mathematical Statistics, vol. 4, no 2,‎ 1989, p. 80–86, 1989.</p>
<p>C. Bishop, Pattern Recognition And Machine Learning, Springer, 2006.</p>
<p>G. Saint-Cirgue, Machine Learnia, Youtube Channel.</p>
<p>J. Tolles,  W-J. Meurer, Logistic Regression Relating Patient Characteristics to Outcomes. JAMA. 316 (5): 533–4, 2016.</p>
<p>B-V. Dasarathy, Nearest Neighbor (NN) Norms: NN Pattern Classification Techniques, 1991.</p>
<p>G. Shakhnarovich,  T. Darrell,  P. Indyk, Nearest-Neighbor Methods in Learning and Vision, 2005.</p>
<p>Hastie, Tibshirani, Friedman, The elements of statistical learning. Springer. p. 195, 2009.</p>
<p>S. Konishi, G. Kitagawa, Information Criteria and Statistical Modeling, Springer, 2008.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-5da60aaa elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="5da60aaa" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small"><a href="https://github.com/TheEventHorizons/Waste-Sorting-Classification">Note: l'ensemble des tableaux de données nécessaires se trouve sur GitHub.</a></h2>				</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-2cd9cb8c elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="2cd9cb8c" data-element_type="section" data-e-type="section">
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															<span class="elementor-toggle-icon-closed"><i class="fas fa-caret-right"></i></span>
								<span class="elementor-toggle-icon-opened"><i class="elementor-toggle-icon-opened fas fa-caret-up"></i></span>
													</span>
												<a class="elementor-toggle-title" tabindex="0">Regression Logistique Plastique-Métal</a>
					</div>

					<div id="elementor-tab-content-5211" class="elementor-tab-content elementor-clearfix" data-tab="1" role="region" aria-labelledby="elementor-tab-title-5211"><p></p>
<pre class="wp-block-code has-black-background-color has-background"><code class="language-python line-numbers" lang="python">
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import os
print("Current Working Directory:", os.getcwd())

from sklearn.pipeline import make_pipeline
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split, GridSearchCV
from sklearn.preprocessing import OrdinalEncoder




# Replace 'path/to/your/excel/file.xlsx' with the actual path to your Excel file
excel_file_path = 'PlasticMetal_data.xlsx'

# Read the Excel file
result_df = pd.read_excel(excel_file_path)

# Display the Pandas DataFrame
print(result_df)


X = result_df['Density']
y = result_df['Material']

# Data preparation
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

# Convert labels to the appropriate format for binary classification
ordinal_encoder = OrdinalEncoder(categories=[['Plastic', 'Metal']])
y_train_encoded = ordinal_encoder.fit_transform(y_train.values.reshape(-1, 1))
y_test_encoded = ordinal_encoder.transform(y_test.values.reshape(-1, 1))

# Reshape y_train and y_test
y_train_reshaped = y_train_encoded.ravel()
y_test_reshaped = y_test_encoded.ravel()

# Reshape X_train and X_test
X_train_reshaped = X_train.values.reshape(-1, 1)
X_test_reshaped = X_test.values.reshape(-1, 1)

# Create the model
model = make_pipeline(StandardScaler(), LogisticRegression(random_state=42))

print(model)

# Create parameter dictionary
params = {
    'logisticregression__penalty': ['l2', None],
    'logisticregression__solver': ['lbfgs'],
    'logisticregression__max_iter': [100, 200, 300, 500, 1000]
}

# Create a search grid
grid = GridSearchCV(model, param_grid=params, cv=5)

# Train the model
grid.fit(X_train_reshaped, y_train_reshaped)

print(grid.best_params_)
print(grid.best_score_)

modelB = grid.best_estimator_

# Model evaluation
accuracy = modelB.score(X_test_reshaped, y_test_reshaped)
print(f"Model accuracy: {accuracy}")

# Predictions
predictions = modelB.predict(X_test_reshaped)

print(predictions)
print(ordinal_encoder.inverse_transform(np.array([[1], [0]])))

coefficients = modelB.named_steps['logisticregression'].coef_
intercept = modelB.named_steps['logisticregression'].intercept_

print("Coefficients:", coefficients)
print("Intercept:", intercept)

# Plot the sigmoid function with normalized data
density_values = np.linspace(0, X_train_reshaped.max(), 300).reshape(-1, 1)
probabilities = modelB.predict_proba(density_values)[:, 1]

# Find the density corresponding to a probability of 0.5
decision_boundary = density_values[np.argmax(probabilities >= 0.5)]

# Plot the sigmoid function
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.scatter(X_train_reshaped, y_train_reshaped, c=y_train_reshaped, cmap='Dark2_r', alpha=0.5)
plt.plot(density_values, probabilities, color='blue', linewidth=2, label='Sigmoid Function')
# Add the vertical line corresponding to a probability of 0.5
plt.axvline(x=decision_boundary, color='red', linestyle='--', label='Decision Boundary')
plt.title('Final Representation of the Sigmoid Function')
plt.xlabel('Density')
plt.ylabel('Probability of Metal')
plt.grid(ls='--')
plt.legend()
plt.show()

# Suppose you have a new material with a certain density
new_material_density = 4  # Replace this value with the actual density of your new material

new_material_density_reshaped = np.array(new_material_density).reshape(-1, 1)

print(modelB.predict(new_material_density_reshaped))

# Make the prediction with the model
probability_of_metal = modelB.predict_proba(new_material_density_reshaped)[:, 1]

# Display the result
print("Probability of being metal:", probability_of_metal)


</code></pre>
<p></p></div>
				</div>
							<div class="elementor-toggle-item">
					<div id="elementor-tab-title-5212" class="elementor-tab-title" data-tab="2" role="button" aria-controls="elementor-tab-content-5212" aria-expanded="false">
												<span class="elementor-toggle-icon elementor-toggle-icon-left" aria-hidden="true">
															<span class="elementor-toggle-icon-closed"><i class="fas fa-caret-right"></i></span>
								<span class="elementor-toggle-icon-opened"><i class="elementor-toggle-icon-opened fas fa-caret-up"></i></span>
													</span>
												<a class="elementor-toggle-title" tabindex="0">Algorithme de Classification des Métaux, Courbes de Validation et Courbes d'Apprentissage</a>
					</div>

					<div id="elementor-tab-content-5212" class="elementor-tab-content elementor-clearfix" data-tab="2" role="region" aria-labelledby="elementor-tab-title-5212">
<pre class="wp-block-code has-black-background-color has-background"><code class="language-python line-numbers" lang="python">
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import os
print("Current Working Directory:", os.getcwd())


from sklearn.pipeline import make_pipeline
from sklearn.preprocessing import MinMaxScaler
from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier
from sklearn.model_selection import train_test_split, GridSearchCV, validation_curve, learning_curve
from sklearn.preprocessing import LabelEncoder



# Replace 'path/to/your/excel/file.xlsx' with the actual path to your Excel file
excel_file_path = 'metals_samples.xlsx'

# Read the Excel file
result_metals_df = pd.read_excel(excel_file_path)

# Display the Pandas DataFrame
print(result_metals_df)


X = result_metals_df[['Density', 'Electrical Conductivity']]
y = result_metals_df['Metal Type']


# Data preparation
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

# Convert labels to the appropriate format for binary classification
label_encoder = LabelEncoder()
y_train_encoded = label_encoder.fit_transform(y_train)
y_test_encoded = label_encoder.transform(y_test)

# Create the model
model = make_pipeline(MinMaxScaler(), KNeighborsClassifier())

print(model)

# Create parameter dictionary
params = {
    'kneighborsclassifier__n_neighbors': [2,3,4,5,6,7,8,9,10, 15, 20, 25, 30, 40,  100],
    'kneighborsclassifier__weights': ['uniform', 'distance'],
    'kneighborsclassifier__p': [1, 2]
}

# Create a search grid
grid = GridSearchCV(model, param_grid=params, cv=5)

# Train the model
grid.fit(X_train, y_train_encoded)

print(grid.best_params_)
print(grid.best_score_)

modelB = grid.best_estimator_

# Model evaluation
accuracy = modelB.score(X_test, y_test_encoded)
print(f"Model Accuracy: {accuracy}")

# Predictions
predictions = modelB.predict(X_test)


#for i in range(0, 32):
    #print(label_encoder.inverse_transform(np.array([i])))



# Sample
X_sample = pd.DataFrame({'Density': [7.5], 'Electrical Conductivity': [5.8], 'Metal Type' : [np.NaN]})  
X_sample = X_sample[['Density','Electrical Conductivity']]


# Predict using the scaled sample
prediction = modelB.predict(X_sample)
prediction_proba = modelB.predict_proba(X_sample)

print("Predicted Metal Type:", label_encoder.inverse_transform(prediction))
print("Prediction Probabilities:", prediction_proba)

# Probability Prediction
prediction_proba = modelB.predict_proba(X_sample)


# Validation Curves

k_range = np.arange(1,100)

#train_score, val_score = validation_curve(model, X_train, y_train_encoded, param_name='kneighborsclassifier__n_neighbors',param_range=k_range, cv =5)

#plt.plot(k_range,val_score.mean(axis=1), label='Validation')
#plt.plot(k_range,train_score.mean(axis=1), label='Train')
#plt.xlabel('Number of Neighbors (k)')
#plt.ylabel('Score')
#plt.grid(ls='--')
#plt.legend()
#plt.title('Validation and Train Curves for k-NN')
#plt.show()

# Learning curves

#N, learn_train_score, learn_val_score = learning_curve(modelB, X_train, y_train_encoded, train_sizes=np.linspace(0.01, 1.0, 50), cv = 5)

#print(N)
#plt.plot(N,learn_val_score.mean(axis=1), label='Validation')
#plt.axhline(y=0.957, c='red', ls='--', label = 'Threshold')
#plt.plot(N,learn_train_score.mean(axis=1), label='Train')
#plt.xlabel('Train Sizes')
#plt.ylabel('Score')
#plt.grid(ls='--')
#plt.legend()
#plt.title('Validation and Train Learning Curves for k-NN')
#plt.show()


# Displaying probabilities with class names
for i, metal_class in enumerate(label_encoder.classes_):
    print(f"Probability for class '{metal_class}': {prediction_proba[0, i]}")





plt.figure(figsize=(10, 6))
scatter = plt.scatter(X_train['Density'], X_train['Electrical Conductivity'], c=y_train_encoded, cmap='Dark2_r', alpha=0.5)
plt.scatter(X_sample['Density'], X_sample['Electrical Conductivity'], c='red', s=50, marker='X', alpha=0.8)
plt.axvline(x=tuple(X_sample['Density']), c='red', ls='--', alpha=0.8)
plt.axhline(y=tuple(X_sample['Electrical Conductivity']), c='red', ls='--', alpha=0.8)
plt.xlabel('Density')
plt.ylabel('Electrical Conductivity (S/m)')
plt.grid(ls='--')
# Configure the colorbar correctly
cbar = plt.colorbar(scatter, ticks=range(len(label_encoder.classes_)))
cbar.set_label('Metal Alloys')
cbar.set_ticklabels(label_encoder.classes_)
plt.title('Unknown Metallic Sample Based on Density and Electrical Conductivity')
plt.legend()
plt.show()





</code></pre>
</div>
				</div>
								</div>
						</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				</div>
		<p>L’article <a href="https://theeventhorizons.com/fr/wall-e-le-compacteur-terrien-de-dechets/">Wall-E: Le Compacteur Terrien de Déchets</a> est apparu en premier sur <a href="https://theeventhorizons.com/fr/home-francais">The Event Horizons</a>.</p>
]]></content:encoded>
					
					<wfw:commentRss>https://theeventhorizons.com/fr/wall-e-le-compacteur-terrien-de-dechets/feed/</wfw:commentRss>
			<slash:comments>0</slash:comments>
		
		
			</item>
		<item>
		<title>Wall-E: Le Petit Mineur d&#8217;Or​</title>
		<link>https://theeventhorizons.com/fr/wall-e-le-petit-mineur-dor/</link>
					<comments>https://theeventhorizons.com/fr/wall-e-le-petit-mineur-dor/#respond</comments>
		
		<dc:creator><![CDATA[admin]]></dc:creator>
		<pubDate>Thu, 02 Nov 2023 04:51:38 +0000</pubDate>
				<category><![CDATA[Intelligence Artificielle]]></category>
		<guid isPermaLink="false">https://theeventhorizons.com/?p=5562</guid>

					<description><![CDATA[<p>Contrairement à ses homologues robotiques du passé, Wall-E se démarquait par sa curiosité insatiable et son désir d’apprendre. Chaque jour, il se perdait dans l’exploration des coins oubliés de la planète, à la quête de trésors enfouis et négligés. Au cours de l’une de ses expéditions, dans une ancienne mine délaissée, Wall-E fit une découverte remarquable : des échantillons d’or étincelants, dissimulés sous des strates de terre et de roche. Intrigué par ces éclats dorés, il se demanda s’il pouvait s’amuser à estimer leur valeur.</p>
<p>En tant que savant robotique, il savait que l’évaluation du prix de ces pépites dépendait de leur pureté. C’est à ce moment précis qu’il entreprit d’explorer un problème d’une simplicité extrême : La Régression Linéaire.</p>
<p>L’article <a href="https://theeventhorizons.com/fr/wall-e-le-petit-mineur-dor/">Wall-E: Le Petit Mineur d&rsquo;Or​</a> est apparu en premier sur <a href="https://theeventhorizons.com/fr/home-francais">The Event Horizons</a>.</p>
]]></description>
										<content:encoded><![CDATA[		<div data-elementor-type="wp-post" data-elementor-id="5562" class="elementor elementor-5562">
						<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-5b5845d3 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="5b5845d3" data-element_type="section" data-e-type="section">
						<div class="elementor-container elementor-column-gap-default">
					<div class="elementor-column elementor-col-100 elementor-top-column elementor-element elementor-element-4cb31d2a" data-id="4cb31d2a" data-element_type="column" data-e-type="column">
			<div class="elementor-widget-wrap elementor-element-populated">
						<div class="elementor-element elementor-element-189961f6 elementor-align-center elementor-widget elementor-widget-button" data-id="189961f6" data-element_type="widget" data-e-type="widget" data-widget_type="button.default">
				<div class="elementor-widget-container">
									<div class="elementor-button-wrapper">
					<a class="elementor-button elementor-button-link elementor-size-sm" href="https://theeventhorizons.com/fr/category/revolution-ia/">
						<span class="elementor-button-content-wrapper">
									<span class="elementor-button-text">	Intelligence Artificielle</span>
					</span>
					</a>
				</div>
								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-xxl">Wall-E: Le Petit Mineur d'Or</h2>				</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-default">Episode II</h2>				</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Par Jordan Moles le 2 Novembre, 2023</h2>				</div>
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									<p style="text-align: center;"><strong>Contrairement à ses homologues robotiques du passé, Wall-E se démarquait par sa curiosité insatiable et son désir d&rsquo;apprendre. Chaque jour, il se perdait dans l&rsquo;exploration des coins oubliés de la planète, à la quête de trésors enfouis et négligés. Au cours de l&rsquo;une de ses expéditions, dans une ancienne mine délaissée, Wall-E fit une découverte remarquable : des échantillons d&rsquo;or étincelants, dissimulés sous des strates de terre et de roche. Intrigué par ces éclats dorés, il se demanda s&rsquo;il pouvait s&rsquo;amuser à estimer leur valeur.</strong></p>
<p style="text-align: center;"><strong>En tant que savant robotique, il savait que l&rsquo;évaluation du prix de ces pépites dépendait de leur pureté. C&rsquo;est à ce moment précis qu&rsquo;il entreprit d&rsquo;explorer un problème d&rsquo;une simplicité extrême : La Régression Linéaire.<br /></strong></p>								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Il est fortement conseillé d'avoir lu l'épisode I avant de continuer !</h2>				</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large">Dans les Profondeurs du Savoir : la Régression</h2>				</div>
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									<p>L&rsquo;histoire de notre intrépide robot solitaire continue et il se retrouve face à une catégorie fascinante de problèmes : la régression. Ces énigmes le poussent à développer de nouvelles compétences pour estimer des valeurs numériques en fonction de données d&rsquo;entrée, et elles occupent une place importante dans son vaste répertoire d&rsquo;explorations.</p>
<p>Wall-E, le petit robot collecteur de déchets, est confronté à des problèmes de régression chaque fois qu&rsquo;il souhaite prédire une valeur numérique basée sur certaines caractéristiques ou variables continues. Imaginez-le en train d&rsquo;analyser les données qu&rsquo;il a recueillies tout en s&rsquo;efforçant de déterminer le prix d&rsquo;une pépite d&rsquo;or en fonction de sa pureté. Dans cette quête, il doit établir une relation mathématique entre les données dont il dispose, telles que la pureté de l&rsquo;or, et les valeurs qu&rsquo;il souhaite prédire, à savoir les prix de ces précieuses pépites.</p>
<p>L&rsquo;une des difficultés auxquelles Wall-E est confronté est de choisir le modèle de régression approprié. Il se demande s&rsquo;il doit opter pour une régression linéaire simple, ce qui signifie qu&rsquo;il suppose une relation linéaire entre la pureté de l&rsquo;or et son prix, ou s&rsquo;il doit explorer des modèles plus complexes, comme une régression polynomiale. Le choix du modèle est crucial car il affectera la précision de ses prédictions.</p>
<p>Une autre problématique que Wall-E doit résoudre est la manière dont il va évaluer la performance de son modèle. Il ne peut pas se permettre de se tromper dans ses estimations, car une erreur dans l&rsquo;estimation du prix de l&rsquo;or pourrait entraîner des conséquences potentiellement désastreuses. Il explore donc diverses mesures d&rsquo;erreur, telles que l&rsquo;erreur absolue moyenne et la racine carré de l&rsquo;erreur quadratique moyenne (pour l&rsquo;instant c&rsquo;est du charabia), pour évaluer la précision de ses prédictions.</p>
<p>L&rsquo;un des défis les plus intrigants auxquels Wall-E est confronté dans les problèmes de régression est l&rsquo;optimisation des paramètres du modèle. Il doit parcourir un processus itératif d&rsquo;ajustement de ces paramètres pour minimiser l&rsquo;erreur entre ses prédictions et les valeurs réelles. Wall-E se lance alors dans la descente de gradient, une technique qui l&rsquo;aide à trouver les paramètres optimaux en minimisant une fonction coût qui rassemble les erreurs du modèle.</p>
<p>Chaque problème de régression que Wall-E aborde est unique, car les données et les objectifs varient. Cependant, sa persévérance et son ingéniosité, combinées à ses compétences en Machine Learning, lui permettent de relever ces défis et d&rsquo;estimer avec précision les valeurs numériques, qu&rsquo;il s&rsquo;agisse du prix de l&rsquo;or ou de toute autre tâche de régression.</p>								</div>
				</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large">La Récolte</h2>				</div>
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									<p>Peu après l&rsquo;évasion de l&rsquo;humanité, le jeune robot senti comme un vent de solitude envahir ses circuits imprimés. Pour s&rsquo;occuper, après une bonne journée de dur labeur, il parcoure des terrains lointains, fouille dans les décombres des grandes réserves d&rsquo;or, analyse chacun des alliages précieux, scrute la moindre petite pépite d&rsquo;or afin d&rsquo;en déterminer sa pureté et recense tous les échantillons d&rsquo;or terrestres en les affichant dans un tableau avec leur prix respectifs (voici les 5 premiers échantillons sur les 150).</p>								</div>
				</div>
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<table id="tablepress-15" class="tablepress tablepress-id-15">
<thead>
<tr class="row-1">
	<td class="column-1"></td><th class="column-2">Pureté de l'or</th><th class="column-3">Prix de l'or (en boulons)</th>
</tr>
</thead>
<tbody class="row-striping row-hover">
<tr class="row-2">
	<td class="column-1">Echantillon 1</td><td class="column-2">0.3745</td><td class="column-3">1028.1347</td>
</tr>
<tr class="row-3">
	<td class="column-1">Echantillon 2</td><td class="column-2">0.9507</td><td class="column-3">1456.2091</td>
</tr>
<tr class="row-4">
	<td class="column-1">Echantillon 3</td><td class="column-2">0.7320</td><td class="column-3">1260.2042</td>
</tr>
<tr class="row-5">
	<td class="column-1">Echantillon 4</td><td class="column-2">0.5987</td><td class="column-3">1145.5583</td>
</tr>
<tr class="row-6">
	<td class="column-1">Echantillon 5</td><td class="column-2">0.1560</td><td class="column-3">958.0828</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<!-- #tablepress-15 from cache --></div>
						</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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									<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;">Lorsqu&rsquo;ils sont indiqués, ce tableau constitue une base de donnée d&rsquo;apprentissage. Chaque échantillon k est donc caractérisé par deux éléments : sa pureté <span style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );">\(x^{(k)}\) qui varie entre 0 (c&rsquo;est pas de l&rsquo;or) et 1 (c&rsquo;est de l&rsquo;or pur) et son prix </span><span style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );">\(y^{(k)}\) (celui ci peut aller de 0 à l&rsquo;infini).</span></p>
<p style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-weight: 400;">La collecte de ces échantillons représente un moment crucial dans la vie de ce savant robotisé. Voici deux aspects essentiels qu&rsquo;il doit prendre en considération pour réaliser des estimations précises.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-49e282a0 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="49e282a0" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p><b> </b></p>
<p><b>Large éventail de données:</b> Wall-E réalise rapidement que pour obtenir des estimations fiables, il doit disposer d&rsquo;un grand nombre d&rsquo;échantillons dans sa base de données.</p>
<p>En effet, si l&rsquo;on considère seulement deux échantillons, comme illustré ici, il est impossible de déterminer si le comportement des prix est linéaire ou non. </p>
<p>De nombreuses courbes d&rsquo;estimation pourraient passer par ces deux points sans refléter la réalité. Comme les deux courbes ci-dessous par exemple.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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												<figure class="wp-caption">
										<img loading="lazy" decoding="async" width="1024" height="791" src="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/deux-points-1-1024x791.png" class="attachment-large size-large wp-image-5261" alt="" srcset="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/deux-points-1-1024x791.png 1024w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/deux-points-1-300x232.png 300w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/deux-points-1-768x593.png 768w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/deux-points-1.png 1196w" sizes="(max-width: 1024px) 100vw, 1024px" />											<figcaption class="widget-image-caption wp-caption-text">Représentation du prix de l'or en fonction de sa pureté sur deux échantillons</figcaption>
										</figure>
									</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-335839a2 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="335839a2" data-element_type="section" data-e-type="section">
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									<p><b> </b></p>
<p><b>Diversité des données</b>: un autre détail crucial à prendre en compte lors de la récolte est la variété des données. </p>
<p>Supposons que Wall-E ne prenne en compte que des échantillons purs ou des échantillons ayant une pureté extrêmement proche (voir la figure ci-contre). </p>
<p>Dans cette situation, tous les échantillons auront presque le même prix, ce qui l&#8217;empêcherait d&rsquo;estimer le prix d&rsquo;autres alliages d&rsquo;or.</p>								</div>
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									</div>
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									<p><b>Conclusion de la collecte</b>: il est donc impératif de rassembler une multitude d&rsquo;échantillons choisis au hasard pour éviter ces limitations et pour s&rsquo;assurer d&rsquo;obtenir des estimations précises pour un large éventail d&rsquo;alliages d&rsquo;or.</p>								</div>
				</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large">Création du Modèle Linéaire</h2>				</div>
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									<p>À partir de ces données, Wall-E élabore ce que nous avons nommé un modèle linéaire \(f(x)=ax+b\) ou a et b sont les paramètres du modèle. </p>
<p>Un modèle efficace minimise les écarts entre les prédictions de Wall-E \(f(x)\) et les valeurs réelles y des échantillons. Telle une sorte de chercheur d&rsquo;or moderne, Wall-E ajuste ces paramètres pour aligner au mieux ses estimations avec la réalité, créant ainsi une équation qui lie subtilement pureté et valeur de l&rsquo;or. Voici sa tentative initiale, qui n&rsquo;est pas incroyable du tout.</p>								</div>
				</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large">Mesurer les Trésors d'Or : La Fonction Coût</h2>				</div>
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									<p>L&rsquo;étape suivante dans l&rsquo;apprentissage de Wall-E consiste à évaluer la performance de ce modèle, c&rsquo;est-à-dire à mesurer les erreurs entre ses prédictions et les valeurs du jeu de données.</p>
<p>Pour le petit robot, la procédure est simple : chaque estimation, notée k, dans le Dataset est confrontée à la réalité. En fonction de l&rsquo;approche choisie, le programme de Wall-E retourne l&rsquo;erreur correspondante à chaque prédiction que nous noterons \(err(k)\).</p>
<p>Chacune des estimations de Wall-E est ainsi associée à sa propre marge d&rsquo;erreur. Au fil des itérations, ces erreurs s&rsquo;accumulent en nombre jusqu&rsquo;à atteindre le nombre total d&rsquo;exemples n dans le Dataset.</p>
<p>On rassemble donc l&rsquo;ensemble de ces erreurs dans une fonction que l&rsquo;on appelle fonction Coût, notée \(Γ(a, b)\). C&rsquo;est une fonction dépendant des paramètres à ajuster et qui calcule simplement la moyenne de toutes les erreurs. Elle s&rsquo;écrit donc de la manière suivante:</p>
<p>\begin{align*}\Gamma(a, b) &#038;=\frac{err(1)+err(2)+\cdots+err(n)}{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n err(k)\end{align*}</p>
<p>Une propriété importante à prendre en compte sur cette fonction est sa convexité c&rsquo;est à dire que sa courbe « fait face vers le haut partout », plus précisément, cela signifie que si on trace une droite entre deux points de la courbe alors cette dernière se place toujours au dessus ou au niveau de la courbe. De telles courbes possèdent toujours un minimum global! C&rsquo;est ce qui va nous servir plus tard.</p>								</div>
				</div>
					</div>
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									Cependant, qu&rsquo;est-ce que l&rsquo;erreur ? Comment peut-on la définir ? Avant d&rsquo;aborder ces questions, il est crucial de discuter d&rsquo;un concept mathématique : la distance, qui permet de quantifier la séparation entre deux points donnés.
								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-medium">Les Distances Expliquées par Hal</h2>				</div>
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									<p>Wall-E, en plein moment de réflexion, cherchait à comprendre pourquoi il devait prêter attention à la notion de distance. La perplexité l&rsquo;envahissait alors qu&rsquo;il observait Hal, son fidèle compagnon cafard, se faufiler silencieusement entre les recoins du laboratoire. </p>
<p>Que pouvait bien signifier cette exploration minutieuse et méthodique de l&rsquo;espace par Hal ?</p>								</div>
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									<p><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;">Il était bien loin d&rsquo;imaginer que derrière ces mouvements silencieux et discrets, Hal partageait, à sa manière, les subtilités des distances. Chaque déplacement entre les objets de la pièce illustrait une règle mathématique essentielle. Elle se comptait au nombre de quatre.</span></p>								</div>
				</div>
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									<p><b>La Positivité</b>. Dans cette chorégraphie, Hal démontrait la première: la positivité des distances. Expliquant à sa manière que la distance entre sa cachette préférée et le garde-manger de déchets était toujours positive, un fait simplement illustré par sa trajectoire (une longueur n&rsquo;est pas négative).</p>
<p>Wall-E, en bon scientifique, l&rsquo;exprima en termes mathématiques: La distance entre deux points A et B quelconques doit être positive ou nulle. Cela s&rsquo;écrit,<br />\begin{align*}<br />\forall A, B \in E, \quad d(A,B)\geq 0.<br />\end{align*}<br />Ce signe \(« \forall »\) veut dire « pour tout » et \(« \in »\) veut dire « dans ». Cela se lit, pour tous éléments quelconques A et B (ici on parle de points) dans E la distance entre A et B est positive ou nulle.</p>								</div>
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									<p><b>La Symétrie</b>. Le concept de symétrie était ensuite mis en avant par Hal, démontrant comment ses déplacements d&rsquo;un point A à un point B étaient toujours identiques, qu&rsquo;il aille de B à A ou d&rsquo;A à B. Ses allées et venues subtils marquaient ainsi l&rsquo;idée de symétrie dans cette danse entre les points.</p><p>Le petit robot introduit cette idée dans ces circuits: La distance entre A et B doit être la même que entre B et A. Mathématiquement,<br />\begin{align*}<br />\forall A, B \in E, \quad d(A,B)=d(B,A).<br />\end{align*}</p>								</div>
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									<p><b>La Séparation</b>. Toutefois, la démonstration la plus surprenante pour Wall-E était celle de la séparation. Hal s&rsquo;en alla chercher deux graines qu&rsquo;il disposa à deux endroits différent de la pièce. C&rsquo;est alors qu&rsquo;il entama une danse frénétique en laissant une graine fixe et ramenant l&rsquo;autre vers elle en effectuant une série d&rsquo;aller-retours rapides pour finir par coller les deux graines ensemble.</p>
<p> De cette manière, il voulu illustrer à Wall-E que si la distance entre ces deux points était nulle alors les deux points coïncident. Une représentation impressionnante et claire de la règle de séparation.</p>
<p>Il comprit la leçon qu&rsquo;il traduisit dans son langage: Si la distance entre A et B est nulle alors A et B coïncident.</p>
<p>\begin{align*}\forall A, B \in E, \quad d(A,B)=0 ⇒A=B.\end{align*}</p>
<p>Ce signe « <b style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">⇒</b><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );"> » veut dire « implique ».</span></p>								</div>
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									<p><b>L&rsquo;Inégalité Triangulaire</b>. Cependant, la leçon de Hal ne s&rsquo;arrêtait pas là car il restait encore une règle essentielle à analyser. Il continua son exploration en illustrant l&rsquo;inégalité triangulaire. </p><p>En évoluant entre sa cachette, Wall-E et le garde manger Hal montrait que la distance entre sa cachette et Wall-E est toujours inférieure à la distance entre sa cachette et le garde-manger plus la distance entre le garde manger et Wall-E. Cette astuce habile, enseignant que le chemin le plus court entre deux points était la ligne droite, captivait Wall-E.</p><p>Il s&#8217;empressa donc de retranscrire tout ça: Si je prend trois points A, B et C qui ne coïncident pas alors la distance entre A et B est toujours plus petite ou égale a la distance entre A et C plus la distance entre C et B.</p><p><br />\begin{align*}<br />\forall A, B, C \in E, \quad d(A,B)\leq d(A,C)+d(C,B).<br />\end{align*}</p>								</div>
				</div>
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									</div>
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										</figure>
									</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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									<p>Grâce à Hal, Wall-E assimila que formellement, une distance est une fonction qui compare deux points dans un espace donné en y attribuant un<span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;"> nombre réel non négatif, exprimant la « longueur » entre ces deux points</span> et qui suit règles bien précises. </p><p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Cet espace peut être le plan familier à deux dimensions comme l&rsquo;a montré le cafard ou notre espace tridimensionnel, voire des espaces bien plus exotiques.</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p> </p>
<p> </p>
<p>Ses talents d&rsquo;abstraction lui permettent aussi de comprendre qu&rsquo;il existe différentes sortes de distances, parmi lesquelles la plus connue est la distance euclidienne (on l&rsquo;appelle aussi la 2-distance)</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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												<figure class="wp-caption">
										<img loading="lazy" decoding="async" width="1024" height="786" src="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/Euclidian-1024x786.png" class="attachment-large size-large wp-image-5159" alt="" srcset="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/Euclidian-1024x786.png 1024w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/Euclidian-300x230.png 300w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/Euclidian-768x589.png 768w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/Euclidian.png 1196w" sizes="(max-width: 1024px) 100vw, 1024px" />											<figcaption class="widget-image-caption wp-caption-text">Calcul de la distance euclidienne entre le point A et le point B</figcaption>
										</figure>
									</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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												<figure class="wp-caption">
										<img loading="lazy" decoding="async" width="1024" height="804" src="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/Infinite-1024x804.png" class="attachment-large size-large wp-image-5160" alt="" srcset="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/Infinite-1024x804.png 1024w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/Infinite-300x236.png 300w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/Infinite-768x603.png 768w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/Infinite.png 1166w" sizes="(max-width: 1024px) 100vw, 1024px" />											<figcaption class="widget-image-caption wp-caption-text">Calcul de l'infini distance entre le point A et le point B</figcaption>
										</figure>
									</div>
				</div>
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		</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p> </p>
<p> </p>
<p>ou encore l&rsquo;\(\infty\)-distance (on dit l&rsquo;infini-distance) qui évalue la distance maximale entre ces points le long de n&rsquo;importe quelle dimension.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-5c8d065a elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="5c8d065a" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p> </p>
<p> </p>
<p> </p>
<p>Mais on trouve également la distance de Manhattan (ou 1-distance pour les puristes) qui est nommée ainsi car elle reflète la distance qu&rsquo;un taxi devrait parcourir dans un réseau de rues formant des grilles orthogonales (typique de la disposition des rues dans Manhattan, d&rsquo;où son nom). </p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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										</figure>
									</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>Nous explorerons en détail ces particularités dans un prochain article. </p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-medium">Une Erreur Fatale</h2>				</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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									<p>Maintenant, pourquoi aborder le concept de distance dans le contexte de l&rsquo;évaluation des prédictions de Wall-E ? En fait, cela nous amène à réfléchir à ce que sont réellement les erreurs entre les prédictions et les valeurs réelles du Dataset.</p>
<p> Imaginez que Wall-E évalue le premier échantillon, un alliage d&rsquo;or d&rsquo;un kilo de pureté 0.72 avec un prix réel de 1231 boulons, mais prédit 1331 boulons. Vous constatez une différence de -130 boulons. Ici on obtient une valeur négative mais en prenant un autre exemple il se pourrait qu&rsquo;elle soit positive. Cette dualité entre valeurs positives et négatives n&rsquo;est pas pratique.</p>
<p>Pour résoudre ce problème, deux options s&rsquo;offrent à nous:</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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									<p>• La première est de considérer la valeur absolue de chaque différence (on enlève le signe moins quand il est présent). L&rsquo;erreur que l&rsquo;on obtient se nomme l&rsquo;erreur absolue notée AE (Absolute Error en anglais).</p>
<p>Dans l&rsquo;exemple précédent, on aurait \(AE(1) = |<span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;"> 1231</span>&#8211;<span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;">1331</span>| = |-130|=130\).</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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		</section>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>• La deuxième est de calculer le carré de chaque différence. Cette erreur s&rsquo;appelle l&rsquo;erreur quadratique noté SE (Squared Error).</p>
<p>Ici on aurait donc une erreur quadratique \(SE(1)= (<span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;">1231</span>&#8211;<span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;">1331</span>)^2=(-130)^2=16900\).</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>On remarque que la deuxième option amplifie grandement les erreurs, mais nous verrons comment rééquilibrer ces différences plus tard.</p>
<p>Ainsi, en appliquant l&rsquo;une ou l&rsquo;autre de ces options, on choisit la manière dont on souhaite mesurer les erreurs, c&rsquo;est à dire une distance. La \(\infty\)-distance pour la première ou la distance euclidienne pour la deuxième.</p>
<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Maintenant, la procédure est simple : chaque estimation, notée k, dans le Dataset est confrontée à la réalité. En fonction de l&rsquo;approche choisie, le programme de Wall-E retourne l&rsquo;erreur correspondante. </span>D&rsquo;ailleurs, selon la distance choisie, la fonction coût se nomme différemment:</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>• Si nous considérons l&rsquo;approche des erreurs absolues, elle se nomme l&rsquo;erreur absolue moyenne noté MAE (Mean Absolute Error en anglais) et s&rsquo;écrit \begin{align*} MAE(a, b) &#038;=\frac{AE(1)+AE(2)+\cdots+AE(n)}{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n AE(k)\\ &#038;= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\left|f\left(x^{(k)}\right) &#8211; y^{(k)}\right|=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \left|ax^{(k)} + b- y^{(k)}\right|. \end{align*}</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>• Tandis que l&rsquo;approche des erreurs quadratiques, nous fourni une fonction coût que l&rsquo;on nomme erreur quadratique moyenne noté MSE (Mean Squared Error en anglais) et s&rsquo;écrit<br />\begin{align*}<br />MSE(a, b) &amp;=\frac{SE(1)+SE(2)+\cdots+SE(n)}{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n SE(k)\\<br />&amp;= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\left(f\left(x^{(k)}\right) &#8211; y^{(k)}\right)^2=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \left(ax^{(k)} + b- y^{(k)}\right)^2.<br />\end{align*}</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Pour remettre à l&rsquo;échelle initiale nos erreurs calculées par cette fonction là, on prendra juste sa racine carré. La fonction ainsi obtenu se nomme la racine carré de l&rsquo;erreur quadratique moyenne noté RMSE (Root Mean Squared error).</span></p>
<p>Voici un exemple pour illustrer le calcul <span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );">ou Wall-E estime la valeur de seulement cinq échantillons (avec cinq différences)</span><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">.</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-6e752a8f elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="6e752a8f" data-element_type="section" data-e-type="section">
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<table id="tablepress-12" class="tablepress tablepress-id-12">
<tbody class="row-striping row-hover">
<tr class="row-1">
	<td class="column-1">Différences</td><td class="column-2">-100</td><td class="column-3">7</td><td class="column-4">-2</td><td class="column-5">42</td><td class="column-6">13</td>
</tr>
<tr class="row-2">
	<td class="column-1">Erreurs AE</td><td class="column-2">100</td><td class="column-3">7</td><td class="column-4">2</td><td class="column-5">42</td><td class="column-6">13</td>
</tr>
<tr class="row-3">
	<td class="column-1">Erreurs SE</td><td class="column-2">10 000</td><td class="column-3">49</td><td class="column-4">4</td><td class="column-5">1764</td><td class="column-6">169</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<!-- #tablepress-12 from cache --></div>
						</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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				<div class="elementor-widget-container">
					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Calcul de la MAE</h2>				</div>
				</div>
					</div>
		</div>
				<div class="elementor-column elementor-col-50 elementor-top-column elementor-element elementor-element-6a221898" data-id="6a221898" data-element_type="column" data-e-type="column">
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				<div class="elementor-widget-container">
					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Calcul de la RMSE</h2>				</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>\begin{align*}MAE(a, b) =\frac{100 + 7 + 2 +  42 + 13}{5} = 32.8.\end{align*}</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
				<div class="elementor-column elementor-col-50 elementor-top-column elementor-element elementor-element-2ccccd64" data-id="2ccccd64" data-element_type="column" data-e-type="column">
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;">\begin{align*}RMSE(a, b) =\sqrt{\frac{10000 + 49 + 4 +  1764 + 169}{5} }= 48.96.\end{align*}</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-2b8ffc84 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="2b8ffc84" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p style="text-align: center;">Pourquoi choisir l&rsquo;une ou l&rsquo;autre ? Pour répondre à cette question, introduisons Eve.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
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									En plus de sa capacité à distinguer les objets organiques, elle possède un système d&rsquo;auto-défense sophistiqué. Elle a été entraînée à estimer la distance (en centimètres) entre l&rsquo;impact de ses tirs et le centre de la cible. Eve entraîne deux modèles afin de trouver celui qui minimisera les erreurs.
								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
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<table id="tablepress-13" class="tablepress tablepress-id-13">
<thead>
<tr class="row-1">
	<td class="column-1"></td><th class="column-2">Erreur 1</th><th class="column-3">Erreur 2</th><th class="column-4">Erreur 3</th><th class="column-5">Erreur 4</th><th class="column-6">MAE</th>
</tr>
</thead>
<tbody class="row-striping row-hover">
<tr class="row-2">
	<td class="column-1">Modèle 1</td><td class="column-2">20</td><td class="column-3">0</td><td class="column-4">0</td><td class="column-5">0</td><td class="column-6">5</td>
</tr>
<tr class="row-3">
	<td class="column-1">Modèle 2</td><td class="column-2">6</td><td class="column-3">5</td><td class="column-4">6</td><td class="column-5">4</td><td class="column-6">5.25</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<!-- #tablepress-13 from cache --></div>
						</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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<table id="tablepress-14" class="tablepress tablepress-id-14">
<thead>
<tr class="row-1">
	<td class="column-1"></td><th class="column-2">Erreur 1</th><th class="column-3">Erreur 2</th><th class="column-4">Erreur 3</th><th class="column-5">Erreur 4</th><th class="column-6">RMSE</th>
</tr>
</thead>
<tbody class="row-striping row-hover">
<tr class="row-2">
	<td class="column-1">Modèle 1</td><td class="column-2">20</td><td class="column-3">0</td><td class="column-4">0</td><td class="column-5">0</td><td class="column-6">10</td>
</tr>
<tr class="row-3">
	<td class="column-1">Modèle 2</td><td class="column-2">6</td><td class="column-3">5</td><td class="column-4">6</td><td class="column-5">4</td><td class="column-6">5.31</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<!-- #tablepress-14 from cache --></div>
						</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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									<p>Ici on observe que la MAE du modèle 1 est plus petite que celle du modèle 2 donc Eve choisira le modèle 1 pour estimer ces tirs.</p>
<p> Sauf que dans le premier modèle on observe qu&rsquo;Eve ne fait quasiment aucunes erreurs sauf sur son premier tir ou elle se trompe de 20 cm. <span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Une quantité non négligeable et dangereuse car elle pourrait blesser quelqu&rsquo;un si son arsenal n&rsquo;est pas suffisamment précis.</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>Dans ce tableau, c&rsquo;est complètement différent, on observe que la RMSE du modèle 1 est beaucoup plus mauvaise que le modèle 2 puisqu&rsquo;elle affiche une erreur beaucoup plus grande. </p>
<p>Eve aura donc tendance à choisir le modèle 2 dans ce cas. En fait, la RMSE pénalise beaucoup plus les grandes erreurs que la MAE.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-74be3c8c elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="74be3c8c" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Si Eve privilégie la Mean Absolute Error (MAE), cela signifie qu&rsquo;elle souhaite minimiser les écarts absolus entre l&rsquo;impact de son tir et la cible. Cela suggère que pour Eve, chaque écart a la même importance. Un écart de 20 unités est considéré comme vingts fois plus important qu&rsquo;un écart de 1 unités.</span></p>
<p>En revanche, si Eve choisit de privilégier la Root Mean Squared Error (RMSE), cela signifie qu&rsquo;elle veut mettre l&rsquo;accent sur les gros écarts. Dans ce cas, les erreurs plus importantes ont un poids plus significatif. En effet, un écart de 20 unités est 400 fois plus important qu&rsquo;un écart d&rsquo;une unité. Donc, si Eve veut éliminer les tirs avec de très gros écarts, le modèle basé sur RMSE serait plus adapté. </p>
<p>Ces choix de fonctions de coût dépendent des objectifs d&rsquo;Eve : si elle veut réduire les gros écarts, elle privilégiera le MSE. En revanche, si elle veut une évaluation équilibrée de tous les écarts, elle optera pour le MAE. Aussi, il existe d&rsquo;autres manières de mesurer les erreurs mais nous  n&rsquo;en parlerons pas ici.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-318bba8 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="318bba8" data-element_type="section" data-e-type="section">
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						</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large">Un Petit Pas Pour le Robot, un Grand Pas pour l'Algorithme</h2>				</div>
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					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-1a94c82c elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="1a94c82c" data-element_type="section" data-e-type="section">
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									<p>Ce qui plaît le plus à Wall-E c&rsquo;est d&rsquo;apprendre par lui-même quels sont les paramètres qui minimise la fonction coût, c’est-à-dire les paramètres qui nous offrent le meilleur modèle possible. Pour trouver ces paramètres optimaux, Wall-E utilise un algorithme d’optimisation bien connu appelé descente de gradient. Imaginez cette étape comme si Wall-E ajustait minutieusement les boutons de son modèle mathématique pour atteindre le niveau d&rsquo;expertise nécessaire dans la tâche de prédiction du prix de l&rsquo;or en fonction de sa pureté.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-6caa3f85 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="6caa3f85" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-medium">On Descend ! </h2>				</div>
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					</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>L&rsquo;idée de la descente de gradient est simple : visualisez Wall-E perdu sur les flanc d&rsquo;une montagne de déchets dans un brouillard épais en train de recycler ce qui lui reste à faire. Malheureusement pour lui, ses piles commencent à s&rsquo;atténuer dangereusement et doit donc rejoindre son petit vaisseau qui se trouve au point le plus bas, mais il ne peut voir que les pentes immédiates autour de lui. Ainsi, a chaque pas de longueur \(\delta\) (c&rsquo;est la lettre delta en grec) il choisit la direction qui le fait descendre le plus rapidement possible. Au fur et à mesure qu&rsquo;il avance, il ajuste sa direction en fonction des pentes qu&rsquo;il perçoit, se rapprochant progressivement du point le plus bas.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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										<img loading="lazy" decoding="async" width="1024" height="762" src="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/lr-0.2-1024x762.png" class="attachment-large size-large wp-image-5179" alt="" srcset="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/lr-0.2-1024x762.png 1024w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/lr-0.2-300x223.png 300w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/lr-0.2-768x572.png 768w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/lr-0.2.png 1118w" sizes="(max-width: 1024px) 100vw, 1024px" />											<figcaption class="widget-image-caption wp-caption-text">Simulation de la descente de gradient avec un pas de 0.2 unité.​</figcaption>
										</figure>
									</div>
				</div>
					</div>
		</div>
				<div class="elementor-column elementor-col-50 elementor-top-column elementor-element elementor-element-5e8e1b37" data-id="5e8e1b37" data-element_type="column" data-e-type="column">
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												<figure class="wp-caption">
										<img loading="lazy" decoding="async" width="1000" height="563" src="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/intro-1608234708.jpg" class="attachment-large size-large wp-image-5129" alt="" srcset="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/intro-1608234708.jpg 1000w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/intro-1608234708-300x169.jpg 300w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/intro-1608234708-768x432.jpg 768w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/intro-1608234708-800x450.jpg 800w" sizes="(max-width: 1000px) 100vw, 1000px" />											<figcaption class="widget-image-caption wp-caption-text">Crédits: Disney/PIXAR</figcaption>
										</figure>
									</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-62da3928 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="62da3928" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>Evidemment, le choix de la valeur <span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;">\(\delta\)</span> est crucial dans la descente de gradient. Car imaginez que Wall-E se déplace avec des pas trop petits alors il arrivera en bas dans beaucoup trop longtemps, ou qu&rsquo;il utilise son jetpack pour s&rsquo;envoler sur des distances très grandes alors il risque de passer au dessus de son refuge.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-10f9d7ef elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="10f9d7ef" data-element_type="section" data-e-type="section">
						<div class="elementor-container elementor-column-gap-default">
					<div class="elementor-column elementor-col-50 elementor-top-column elementor-element elementor-element-76f9bdba" data-id="76f9bdba" data-element_type="column" data-e-type="column">
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						<div class="elementor-element elementor-element-52080a20 elementor-widget elementor-widget-image" data-id="52080a20" data-element_type="widget" data-e-type="widget" data-widget_type="image.default">
				<div class="elementor-widget-container">
												<figure class="wp-caption">
										<img loading="lazy" decoding="async" width="1024" height="758" src="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/lr-0.02-1-1024x758.png" class="attachment-large size-large wp-image-5176" alt="" srcset="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/lr-0.02-1-1024x758.png 1024w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/lr-0.02-1-300x222.png 300w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/lr-0.02-1-768x569.png 768w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/lr-0.02-1.png 1140w" sizes="(max-width: 1024px) 100vw, 1024px" />											<figcaption class="widget-image-caption wp-caption-text">Simulation de la descente de gradient avec un pas de 0.02 unité.​</figcaption>
										</figure>
									</div>
				</div>
					</div>
		</div>
				<div class="elementor-column elementor-col-50 elementor-top-column elementor-element elementor-element-8872128" data-id="8872128" data-element_type="column" data-e-type="column">
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						<div class="elementor-element elementor-element-65d60985 elementor-widget elementor-widget-image" data-id="65d60985" data-element_type="widget" data-e-type="widget" data-widget_type="image.default">
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												<figure class="wp-caption">
										<img loading="lazy" decoding="async" width="1024" height="759" src="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/lr-0.9-1-1024x759.png" class="attachment-large size-large wp-image-5177" alt="" srcset="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/lr-0.9-1-1024x759.png 1024w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/lr-0.9-1-300x222.png 300w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/lr-0.9-1-768x569.png 768w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/lr-0.9-1.png 1150w" sizes="(max-width: 1024px) 100vw, 1024px" />											<figcaption class="widget-image-caption wp-caption-text">Simulation de la descente de gradient avec un pas de 0.9 unité.​</figcaption>
										</figure>
									</div>
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					</div>
		</div>
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		</section>
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									<p>Revenons à notre problème initial. La montagne de déchets symbolise notre fonction coût, les paramètres de position de Wall-E sur la montagne représentent les paramètres de notre modèle de régression linéaire et les pas traduisent ce que l&rsquo;on appelle le taux d&rsquo;apprentissage de Wall-E (Learning Rate en anglais). Ainsi, en décomposant les actions de Wall-E, algorithmiquement, on a: </p>
<p><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );">• </span>Notre robot calcule les gradients c&rsquo;est à dire l&rsquo;inclinaison de la pente suivant les deux axes (a et b) de la fonction coût à chaque itération. Cela revient mathématiquement à calculer ces deux quantités: </p>
<p>\begin{align*} \frac{\partial \Gamma(a, b)}{\partial a}\quad\text{et}\quad \frac{\partial \Gamma(a, b)}{\partial b} \end{align*} <span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Les mathématiciens l&rsquo;auront bien compris, ça n&rsquo;est autre qu&rsquo;un calcul de dérivée d&rsquo;une fonction à plusieurs variables.</span></p>
<p><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );">• </span><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Il met à jour les paramètres ce qui le rapproche de plus en plus du minimum de la fonction coût. On appelle les nouveaux paramètres \(a^*\) et \(b^*\) et ils s&rsquo;écrivent \begin{align*} a^*&amp;=a-\delta\times\frac{\partial \Gamma(a, b)}{\partial a}\\ b^*&amp;=b- \delta\times\frac{\partial \Gamma(a, b)}{\partial b} \end{align*}</span><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );"> Ainsi, les nouveaux paramètres sont juste définis comme l&rsquo;ancienne position auquel on retranche le taux d&rsquo;apprentissage \(\delta\) multiplié par la valeur de la pente. Par analogie, c&rsquo;est la position de Wall-E après avoir fait un pas dans la direction ou la pente est la plus forte.</span></p>
<p><span style="color: var( --e-global-color-text ); font-size: 15px;"> </span><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );">• </span><span style="color: var( --e-global-color-text ); font-size: 15px;">Il recommence jusqu&rsquo;à trouver le minimum de la fonction coût.</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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									<p>Il faut bien comprendre que la descente de gradient est un processus itératif c&rsquo;est à dire qui se répète de nombreuses fois jusqu&rsquo;à ce que Wall-E atteigne un point où la fonction coût est minimale et ses prédictions sont aussi précises que possible.</p>
<p>En ce qui concerne le taux d&rsquo;apprentissage noté <span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;">\(\delta\)</span>, quelques détails méritent d&rsquo;être éclaircis. Comme dans la métaphore précédente, le choix de la valeur de <span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;">\(\delta\)</span> est essentiel.</p>
<p>Un <span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;">\(\delta\)</span> trop petit pourrait ralentir la convergence, car les ajustements aux paramètres seraient minuscules à chaque étape, tandis qu&rsquo;un <span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;">\(\delta\)</span> trop grand pourrait provoquer des oscillations ou même empêcher la convergence, car les ajustements pourraient dépasser le minimum recherché. Choisir judicieusement la valeur de <span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;">\(\delta\)</span> est donc essentiel pour que l&rsquo;algorithme de Wall-E converge efficacement vers la solution optimale.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-medium">Quand Est-ce qu'On Arrive ?</h2>				</div>
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									<p>Ça fait un petit moment maintenant que notre robot courageux avance désespérément à tâtons, aveuglé par mère nature. Il se demande bien quand est-ce qu&rsquo;il va arriver en bas de la montagne. Tout comme dans cette situation, en machine learning, atteindre le minimum de la fonction coût – l&rsquo;équivalent du refuge pour Wall-E – peut sembler délicat. Sa position est incertaine, et pour y arriver, Wall-E doit ajuster sa progression en tenant compte de la longueur de ses pas et du nombre de ces pas. </p>
<p>Pour s&rsquo;orienter, Wall-E doit donc enregistrer scrupuleusement chacune de ses positions le long du flanc de la montagne que l&rsquo;on  nomme l&rsquo;histoire de la descente. En gardant une trace précise de chaque pas, il peut ensuite dessiner sa trajectoire, créant ainsi une « courbe de descente ». Cela lui permet de visualiser son chemin parcouru, de mesurer ses progrès et de déterminer s&rsquo;il est proche du point le plus bas. Voici un exemple ci-dessous, en supposant que Wall-E soit placé au hasard sur la montagne.</p>								</div>
				</div>
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												<figure class="wp-caption">
										<img loading="lazy" decoding="async" width="1024" height="694" src="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/descente-1024x694.png" class="attachment-large size-large wp-image-5296" alt="" srcset="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/descente-1024x694.png 1024w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/descente-300x203.png 300w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/descente-768x521.png 768w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/descente-1536x1042.png 1536w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/descente.png 1566w" sizes="(max-width: 1024px) 100vw, 1024px" />											<figcaption class="widget-image-caption wp-caption-text">Valeur de la descente en fonction du nombre de pas. La longueur du pas est fixé à 0.1 unité. </figcaption>
										</figure>
									</div>
				</div>
					</div>
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												<figure class="wp-caption">
										<img loading="lazy" decoding="async" width="1024" height="577" src="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/3-copie-1024x577.png" class="attachment-large size-large wp-image-5297" alt="" srcset="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/3-copie-1024x577.png 1024w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/3-copie-300x169.png 300w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/3-copie-768x433.png 768w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/3-copie-800x450.png 800w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/3-copie.png 1296w" sizes="(max-width: 1024px) 100vw, 1024px" />											<figcaption class="widget-image-caption wp-caption-text">Crédits: Disney/PIXAR</figcaption>
										</figure>
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		</section>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>Dans le domaine du Machine Learning, <span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">l&rsquo;histoire de la descente se nomme en fait l&rsquo;histoire du coût car elle donne les valeurs de la fonction coût en fonction de variables clés telles que le taux d&rsquo;apprentissage et le nombre d&rsquo;itérations de l&rsquo;algorithme de la descente de gradient.</span></p>
<p>D&rsquo;ailleurs sa représentation graphique que l&rsquo;on a nommée courbe de descente se nomme en réalité courbe d&rsquo;apprentissage et est essentielle pour évaluer la performance d&rsquo;un modèle car elle illustre de façon dynamique l&rsquo;évolution de la précision du modèle.</p>
<p>Dans ce cas particulier, après une dizaine d&rsquo;étapes, Wall-E semble cesser de descendre davantage, indiquant qu&rsquo;il a atteint son refuge. Les 40 pas supplémentaires sont donc inutiles. Cette information est cruciale en informatique, car elle nous permet d&rsquo;éviter d&rsquo;exécuter inutilement l&rsquo;algorithme, potentiellement économisant du temps et des ressources, surtout lorsque certaines simulations peuvent prendre <span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">des délais considérables, allant de jours à des semaines.</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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				<div class="elementor-widget-container">
					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large">Dans ses Circuits Imprimés: l'Estimation du Prix de l'Or</h2>				</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-1d0366c elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="1d0366c" data-element_type="section" data-e-type="section">
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									<p>Mais que ce passe t&rsquo;il exactement dans le cerveau électronique de notre adorable robot ? Avant d&rsquo;effectuer la moindre addition, Wall-E traduit non pas seulement l&rsquo;ensemble des données sous forme de tableau mais aussi les paramètres du modèle et les gradients: Une sorte de langage crypté pour les machines que l&rsquo;on appelle forme matricielle qui simplifie grandement les calculs. Plus précisément, Cela donne naissance à un vecteur \(\mathbf{Y}\) composé de n éléments correspondant au prix des n échantillons d&rsquo;or,</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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				<div class="elementor-widget-container">
									\begin{equation*}
\mathbf{Y}=\begin{bmatrix}
y^{(1)} \\
y^{(2)} \\
\vdots\\
y^{(n)}
\end{bmatrix}
\end{equation*}								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-1b58ded5 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="1b58ded5" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>accompagné d&rsquo;une matrice \(\mathbf{X}\) de n lignes et \(m+1\) colonnes qui englobe avec précision chaque feature m (ici il s&rsquo;agit seulement de la pureté donc il y en a qu&rsquo;une seule \(m=1\)) et une colonne contenant que des 1 qu&rsquo;on appellera « biais »</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-30fb4214 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="30fb4214" data-element_type="section" data-e-type="section">
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						<div class="elementor-element elementor-element-71775437 elementor-widget elementor-widget-text-editor" data-id="71775437" data-element_type="widget" data-e-type="widget" data-widget_type="text-editor.default">
				<div class="elementor-widget-container">
									 \begin{equation*}
\mathbf{X}=\left[
\begin{array}{cc}
x^{(1)}  &#038; 1\\
x^{(2)} &#038; 1\\
\vdots &#038; \vdots\\
x^{(n)} &#038; 1
\end{array}
\right].
\end{equation*}								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-236a2e18 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="236a2e18" data-element_type="section" data-e-type="section">
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					<div class="elementor-column elementor-col-100 elementor-top-column elementor-element elementor-element-7e4fc816" data-id="7e4fc816" data-element_type="column" data-e-type="column">
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>Cette dernière nous permet simplement d&rsquo;effectuer les calculs matricielles nécessaires à l&rsquo;apprentissage. À noter que de manière générale on a</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-ff614fb elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="ff614fb" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
									 \begin{equation*}
\mathbf{X}=\left[
\begin{array}{cccc}
   x^{(1)}_1 &#038; \cdots &#038; x^{(1)}_m &#038; 1\\
   \vdots &#038; \ddots &#038; \vdots &#038; \vdots \\
   x^{(n)}_1 &#038; \cdots &#038; x^{(n)}_m &#038; 1
\end{array}
\right].
\end{equation*}								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-7a4b57e3 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="7a4b57e3" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>En parallèle, un vecteur « paramètre » \(\mathbf{P}\) (une colonne) fait son entrée, regroupant soigneusement tous les paramètres de notre modèle soient a et b</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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				<div class="elementor-widget-container">
									\begin{equation*}
\mathbf{P}=\begin{bmatrix}
a \\
b
\end{bmatrix}.
\end{equation*}								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-48d58d52 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="48d58d52" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>N&rsquo;oubliez pas que l&rsquo;on cherche \(\mathbf{P}\) tel qu&rsquo;il minimise la fonction coût. Grâce à cela, Wall-E peut exprimer toutes les étapes d&rsquo;apprentissage facilement et estimer le prix d&rsquo;une pépite d&rsquo;or au prix inconnu:</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p><strong>• La Récolte</strong> s&rsquo;effectue en affichant les données dans une matrice : chaque échantillon, avec ses caractéristiques de pureté et de prix, trouve sa place dans cette matrice.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-5b2d2c45 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="5b2d2c45" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p><strong>• La Création du Modèle</strong> est le processus où Wall-E définit les paramètres affichés dans la colonne \(\mathbf{P}\) prise au hasard qui servent à établir la relation linéaire entre la pureté et le prix de l&rsquo;or \(\mathbf{F(\mathbf{X})}=\mathbf{X\times P}\).</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-549bf3fc elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="549bf3fc" data-element_type="section" data-e-type="section">
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						<div class="elementor-element elementor-element-35440a04 elementor-widget elementor-widget-text-editor" data-id="35440a04" data-element_type="widget" data-e-type="widget" data-widget_type="text-editor.default">
				<div class="elementor-widget-container">
									<p><strong>• La Fonction Coût</strong> est redéfinie de la manière suivante: \begin{align*} \Gamma(\mathbf{P})=\frac{1}{n}\left(\mathbf{F(X)-y}\right)\cdot\left(\mathbf{F(X)-y}\right) \end{align*} ou le \(\cdot\) est le produit scalaire.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-835f488 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="835f488" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p><strong>• Trouver le minimum</strong> revient à calculer le gradient:<br />\begin{align*}\frac{\partial }{\partial \mathbf{P}} \Gamma(\mathbf{P})=\frac{1}{n}\mathbf{X\cdot\left(F(X)-y\right)}\end{align*}<br />et à appliquer itérativement la descente de gradient pour mettre à jour le paramètre P:<br />\begin{align*}\mathbf{P^*}=\mathbf{P}-\delta \frac{\partial }{\partial \mathbf{P}}\Gamma(\mathbf{P})\end{align*}<br />ou \(\mathbf{P^*}\) est le nouveau paramètre.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-1838ef0 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="1838ef0" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Wall-E, en appliquant minutieusement toutes les étapes, est maintenant prêt à estimer le prix de l&rsquo;or selon la pureté que vous lui fournissez ! Voici la courbe finale qu&rsquo;il obtient.</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-7030fe64 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="7030fe64" data-element_type="section" data-e-type="section">
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												<figure class="wp-caption">
										<img loading="lazy" decoding="async" width="1024" height="777" src="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/Linear-Regression-Line-1024x777.png" class="attachment-large size-large wp-image-5291" alt="" srcset="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/Linear-Regression-Line-1024x777.png 1024w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/Linear-Regression-Line-300x228.png 300w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/Linear-Regression-Line-768x583.png 768w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/11/Linear-Regression-Line.png 1510w" sizes="(max-width: 1024px) 100vw, 1024px" />											<figcaption class="widget-image-caption wp-caption-text">Courbe de régression linéaire sur le prix de l'or en fonction de sa pureté</figcaption>
										</figure>
									</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p> </p>
<p>Les paramètres a et b de la droite en bleu sont respectivement égaux à 493.56 et 886.18. Pour la descente de gradient, il a d&rsquo;ailleurs utilisé un taux d&rsquo;apprentissage égal à 0.2 et effectué une vingtaine d&rsquo;itération de l&rsquo;algorithme. </p>
<p>On peut donc facilement observer qu&rsquo;en choisissant un alliage d&rsquo;or de pureté 0.6, son prix serait estimé à environs 1200 boulons.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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		</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large">Transfert de Connaissances et Performance du Modèle : Des Leçons Applicables à Toutes les Régressions</h2>				</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>Toutes les étapes et les calculs effectués pour estimer le prix de l&rsquo;or en fonction de sa pureté via une régression linéaire sont fondamentalement similaires à celles réalisées pour la régression non linéaire ou d&rsquo;autres types de modèles de Machine Learning !</p>
<p>Wall-E, le petit robot passionné par l&rsquo;estimation du prix de l&rsquo;or, accomplit une séquence bien définie pour entraîner son modèle, minimiser l&rsquo;erreur, et ajuster les paramètres pour prédire le prix de l&rsquo;or en fonction de sa pureté. Le processus implique la transformation des données en matrices, la création du modèle, la définition de la fonction de coût pour évaluer les erreurs, la minimisation de cette fonction en ajustant itérativement les paramètres, et enfin, l&rsquo;obtention du paramètre optimal pour estimer avec précision le prix de l&rsquo;or.</p>
<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Ce processus est flexible et peut être appliqué à différentes situations et types de modèles d&rsquo;apprentissage, s&rsquo;adaptant ainsi à des problèmes plus complexes nécessitant des modèles plus sophistiqués. Le succès de Wall-E dans l&rsquo;estimation du prix de l&rsquo;or montre la puissance et l&rsquo;efficacité de ces méthodes, ouvrant la voie à des applications plus vastes et diversifiées du Machine Learning dans des contextes variés.</span></p>
<p>Mais il reste encore une dernière chose à voir: Le Coefficient de Détermination <span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">aussi connu sous le nom de \(R^2\). Il</span><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );"> joue un rôle crucial dans l&rsquo;évaluation de la performance du modèle de Wall-E car il mesure à quel point le modèle s&rsquo;ajuste aux données par rapport aux variations de celle-ci. En des termes mathématiques, il s&rsquo;écrit de la façon suivante:</span></p>
<p>\begin{equation}R^2 = 1 &#8211; \frac{\sum_{k=1}^{n} \left(y^{(k)}- f(x^{(k)})\right)^2}{\sum_{k=1}^{n} (y^{(k)}- \bar{y})^2}\end{equation}</p>
<p>ou \(<span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );">\bar{y}\) n&rsquo;est autre que la moyenne des valeurs de nos échantillons (dans notre cas c&rsquo;est simplement le prix moyen). Sous ses airs barbares, se cache simplement une fraction simple à comprendre. En la réécrivant de manière plus digeste on a, </span></p>
<p>\begin{equation}R^2 = 1 &#8211; \frac{Erreurs}{Variance}.\end{equation}</p>
<p>Souvenez-vous (voir l&rsquo;article <a href="https://theeventhorizons.com/fr/battre-le-maitre-du-jeu/">Battre le Maître du Jeu</a>) que la variance est une mesure de la dispersion des valeurs d&rsquo;échantillons.</p>
<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Ainsi, pour Wall-E, obtenir un \(R^2\)</span><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );"> proche de 1 serait idéal, impliquant que la fraction de droite est proche de 0. Cela signifie que les erreurs sont largement négligeables face à la manière dont se disperse les données et que le modèle proposé par Wall-E s&rsquo;ajuste bien aux valeurs des échantillons.</span></p>
<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">A contrario, si </span><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );">\(R^2\)</span><span style="color: var( --e-global-color-text ); font-size: 15px;"> est proche de 0, cela indiquerait que le modèle n&rsquo;explique pas bien la variabilité des données, et les prédictions peuvent être moins fiables car les erreurs sont du même ordre de grandeur que la variance.</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Avec toutes ces explications, Wall-E s&rsquo;est lancé dans le calcul du coefficient de détermination </span><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );"> </span><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );">\(R^2\)  </span><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">pour évaluer la qualité de son modèle précédent. </span><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Le résultat est plutôt réjouissant, avec un score honorable de 0,93. En d&rsquo;autres termes, le modèle s&rsquo;ajuste remarquablement bien aux données, couvrant environ 93% de la variabilité observée. Une performance qui confirme l&rsquo;efficacité de son approche dans l&rsquo;estimation du prix de l&rsquo;or en fonction de sa pureté !</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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												<figure class="wp-caption">
										<img loading="lazy" decoding="async" width="1024" height="474" src="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/08/calculatrice-1024x474.png" class="attachment-large size-large wp-image-2092" alt="" srcset="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/08/calculatrice-1024x474.png 1024w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/08/calculatrice-300x139.png 300w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/08/calculatrice-768x355.png 768w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/08/calculatrice.png 1284w" sizes="(max-width: 1024px) 100vw, 1024px" />											<figcaption class="widget-image-caption wp-caption-text">Crédits: Disney/PIXAR</figcaption>
										</figure>
									</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-72a44794 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="72a44794" data-element_type="section" data-e-type="section">
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									<p>Cependant, Wall-E, en tant que perfectionniste inlassable, ne se contente pas de succès déjà obtenus. Il cherche constamment des moyens d&rsquo;améliorer son modèle. </p>
<p>Ainsi, il décide de transcender le modèle linéaire initial en optant pour une approche polynomiale (de degré 2). Il modifie la fonction de référence en \(f(x))=ax^2+bx+c\) et répète méticuleusement toutes les étapes de l&rsquo;algorithme, ne laissant rien au hasard. Voici les résultats qu&rsquo;il a obtenus.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
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												<figure class="wp-caption">
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										</figure>
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									<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );"> </span></p>
<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">La courbe s&rsquo;ajuste vraiment bien aux données et pour cause, avec des paramètres valant respectivement 273.84, 404.43 et 837.08, il obtient un coefficient de détermination remarquable de 97 % ! </span></p>
<p>Observez ici qu&rsquo;un échantillon d&rsquo;or de pureté 0.6 vaudrait environ 1160 boulons.</p>
<p>En contemplant cette réussite, on ne peut s&#8217;empêcher d&rsquo;anticiper avec enthousiasme les futures explorations de Wall-E dans le monde complexe de la modélisation et de l&rsquo;apprentissage automatique.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large">Exploration Réussie des Méandres de la Régression : Prochaine Étape, le Fascinant Monde de la Classification</h2>				</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>Dans cette exploration captivante des problèmes de régression, nous avons plongé dans l&rsquo;univers fascinant de la modélisation mathématique, avec Wall-E comme guide intrépide. Des descentes de gradient aux courbes d&rsquo;apprentissage, en passant par la définition des erreurs, nous avons démystifié les aspects clés de la régression, révélant la magie sous-jacente du Machine Learning.</p>
<p>Alors que nous laissons Wall-E reposer ses circuits après ses exploits de régression, préparez-vous à embarquer pour une nouvelle aventure dans notre prochain article. Nous plongerons dans les mystères des problèmes de classification, explorant comment les modèles peuvent apprendre à catégoriser et à prendre des décisions dans un monde de données complexes. Restez connectés pour une immersion encore plus profonde dans l&rsquo;univers dynamique de l&rsquo;apprentissage automatique avec Wall-E comme votre fidèle compagnon de voyage !</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large">Bibliographie</h2>				</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>G. James, D. Witten, T. Hastie et R. Tibshirani, An Introduction to Statistical Learning, Springer Verlag, coll. « Springer Texts in Statistics », 2013</p>
<p>D. MacKay, Information Theory, Inference, and Learning Algorithms, Cambridge University Press, 2003</p>
<p>T. Mitchell, Machine Learning, 1997</p>
<p>F. Galton,  Kinship and Correlation (reprinted 1989), Statistical Science, Institute of Mathematical Statistics, vol. 4, no 2,‎ 1989, p. 80–86</p>
<p>C. Bishop, Pattern Recognition And Machine Learning, Springer, 2006</p>
<p>G. Saint-Cirgue, Machine Learnia, Youtube Channel</p>
<p><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );">D.V. </span>Lindley,  Regression and correlation analysis, <span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );">1987</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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		</section>
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					<div id="elementor-tab-title-1231" class="elementor-tab-title" data-tab="1" role="button" aria-controls="elementor-tab-content-1231" aria-expanded="false">
												<span class="elementor-toggle-icon elementor-toggle-icon-left" aria-hidden="true">
															<span class="elementor-toggle-icon-closed"><i class="fas fa-caret-right"></i></span>
								<span class="elementor-toggle-icon-opened"><i class="elementor-toggle-icon-opened fas fa-caret-up"></i></span>
													</span>
												<a class="elementor-toggle-title" tabindex="0">Regression Linéaire non-Optimale</a>
					</div>

					<div id="elementor-tab-content-1231" class="elementor-tab-content elementor-clearfix" data-tab="1" role="region" aria-labelledby="elementor-tab-title-1231">
<pre class="wp-block-code has-black-background-color has-background"><code class="language-python line-numbers" lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LinearRegression

# Parameters of the quadratic function
a = 400
b = 200
c = 900

# Generate 150 points between -100 and 100
np.random.seed(42)

X = np.random.uniform(0, 1, 150)

# Create Y values based on the quadratic function with Gaussian noise

Y = a * X**2 + b * X + c + np.random.normal(0, 15, 150)

# Reshape the data for modeling
X = X.reshape(-1, 1)
Y = Y.reshape(-1, 1)

# Perform linear regression
model = LinearRegression()
model.fit(X, Y)

# Display the data
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.scatter(X, Y, color='red',label='Data Points')
plt.plot(X, 500 * X +  c, color='blue', linewidth=2, label='Linear Regression Line')
#plt.plot(X, model.predict(X), color='blue', linewidth=2, label='Linear Regression Line')
plt.title('Linear Regression on Gold Price based on Purity')
plt.xlabel('Gold Purity')
plt.ylabel('Gold Price')
plt.legend()
plt.grid(ls='--')
plt.show()





</code></pre>
</div>
				</div>
							<div class="elementor-toggle-item">
					<div id="elementor-tab-title-1232" class="elementor-tab-title" data-tab="2" role="button" aria-controls="elementor-tab-content-1232" aria-expanded="false">
												<span class="elementor-toggle-icon elementor-toggle-icon-left" aria-hidden="true">
															<span class="elementor-toggle-icon-closed"><i class="fas fa-caret-right"></i></span>
								<span class="elementor-toggle-icon-opened"><i class="elementor-toggle-icon-opened fas fa-caret-up"></i></span>
													</span>
												<a class="elementor-toggle-title" tabindex="0">Régression Linéaire Optimale avec courbe d'apprentissage</a>
					</div>

					<div id="elementor-tab-content-1232" class="elementor-tab-content elementor-clearfix" data-tab="2" role="region" aria-labelledby="elementor-tab-title-1232">
<pre class="wp-block-code has-black-background-color has-background"><code class="language-python line-numbers" lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parameters of the quadratic function
a = 400
b = 200
c = 900

# Generate random data
np.random.seed(42)
x = np.random.uniform(0, 1, 150)
y = a * x**2 + b * x + c + np.random.normal(0, 15, 150)
y = y.reshape(y.shape[0], 1)  # Reshaping y to fit the required shape

# Create the feature matrix X
X = np.vstack((x, np.ones(len(x)))).T

# Initialize the theta parameters for the linear model
theta = np.random.randn(2, 1)

# Define the linear model function
def model(X, theta):
    return X.dot(theta)

# Define the cost function
def cost_function(X, y, theta):
    m = len(y)
    return 1 / (2 * m) * np.sum((model(X, theta) - y)**2)

# Define the gradient calculation function
def grad(X, y, theta):
    m = len(y)
    return 1 / m * X.T.dot(model(X, theta) - y)

# Define the gradient descent function
def gradient_descent(X, y, theta, learning_rate, n_iterations):
    cost_history = np.zeros(n_iterations)
    for i in range(n_iterations):
        theta = theta - learning_rate * grad(X, y, theta)
        cost_history[i] = cost_function(X, y, theta)
    return theta, cost_history

# Define the learning rate and number of iterations
learning_rate = 0.2
n_iterations = 20

# Perform gradient descent to optimize the parameters
theta_final, cost_history = gradient_descent(X, y, theta, learning_rate, n_iterations)

# Make predictions with the optimized parameters
predictions = model(X, theta_final)

# Plot the data points and the linear model predictions
plt.scatter(x, y, c='r',label='Data Points')
plt.plot(x, predictions, c='blue',label='Linear Regression Line')
plt.xlabel('Gold Purity')
plt.ylabel('Gold Price')
plt.title('Linear Regression on Gold Price and Gold Purity')
plt.legend()
plt.grid(ls='--')
plt.show()

# Plot the cost history during gradient descent
plt.plot(range(n_iterations), cost_history)
plt.xlabel('Number of Steps')
plt.ylabel('Descent')
plt.title('Descent History during Gradient Descent')
plt.grid(ls='--')
plt.show()

# Calculate the coefficient of determination (R-squared)
def coef_determination(y, pred):
    u = ((y - pred)**2).sum()
    v = ((y - y.mean())**2).sum()
    return 1 - u / v

# Print Final theta

print(theta_final)

# Print the R-squared value
print(coef_determination(y, predictions))

# Display the first 5 samples of the data
print("First 5 samples of the data:")
for i in range(5):
    print(f"Sample {i + 1} - Gold Purity: {x[i]:.4f}, Gold Price: {y[i][0]:.4f}")





</code></pre>
</div>
				</div>
							<div class="elementor-toggle-item">
					<div id="elementor-tab-title-1233" class="elementor-tab-title" data-tab="3" role="button" aria-controls="elementor-tab-content-1233" aria-expanded="false">
												<span class="elementor-toggle-icon elementor-toggle-icon-left" aria-hidden="true">
															<span class="elementor-toggle-icon-closed"><i class="fas fa-caret-right"></i></span>
								<span class="elementor-toggle-icon-opened"><i class="elementor-toggle-icon-opened fas fa-caret-up"></i></span>
													</span>
												<a class="elementor-toggle-title" tabindex="0">Régression Polynomiale </a>
					</div>

					<div id="elementor-tab-content-1233" class="elementor-tab-content elementor-clearfix" data-tab="3" role="region" aria-labelledby="elementor-tab-title-1233">
<pre class="wp-block-code has-black-background-color has-background"><code class="language-python line-numbers" lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parameters of the quadratic function
a = 400
b = 200
c = 900

# Generate random data
np.random.seed(42)
x = np.random.uniform(0, 1, 150)
y = a * x**2 + b * x + c + np.random.normal(0, 15, 150)
y = y.reshape(y.shape[0], 1)  # Reshaping y to fit the required shape

# Create the feature matrix X

X = np.vstack((x**2,x, np.ones(len(x)))).T


print(X.shape)

# Initialize the theta parameters for the linear model
theta = np.random.randn(3, 1)

# Define the polynomial model function
def model(X, theta):
    return X.dot(theta)

# Define the cost function
def cost_function(X, y, theta):
    m = len(y)
    return 1 / (2 * m) * np.sum((model(X, theta) - y)**2)

# Define the gradient calculation function
def grad(X, y, theta):
    m = len(y)
    return 1 / m * X.T.dot(model(X, theta) - y)

# Define the gradient descent function
def gradient_descent(X, y, theta, learning_rate, n_iterations):
    cost_history = np.zeros(n_iterations)
    for i in range(n_iterations):
        theta = theta - learning_rate * grad(X, y, theta)
        cost_history[i] = cost_function(X, y, theta)
    return theta, cost_history

# Define the learning rate and number of iterations
learning_rate = 0.2
n_iterations = 20

# Perform gradient descent to optimize the parameters
theta_final, cost_history = gradient_descent(X, y, theta, learning_rate, n_iterations)

# Make predictions with the optimized parameters
predictions = model(X, theta_final)


# Plot the data points and the polynomial regression predictions
plt.scatter(x, y, c='r', label='Data Points')
plt.plot(x, predictions, c='blue', label='Polynomial Regression Line')
plt.xlabel('Gold Purity')
plt.ylabel('Gold Price')
plt.title('Polynomial Regression on Gold Price and Gold Purity')
plt.legend()
plt.grid(ls='--')
plt.show()

# Plot the cost history during gradient descent
plt.plot(range(n_iterations), cost_history)
plt.xlabel('Number of Steps')
plt.ylabel('Descent')
plt.title('Descent History during Gradient Descent')
plt.grid(ls='--')
plt.show()


# Calculate the coefficient of determination (R-squared)
def coef_determination(y, pred):
    u = ((y - pred)**2).sum()
    v = ((y - y.mean())**2).sum()
    return 1 - u / v

# Print Final theta
print(theta_final)

# Print the R-squared value
print(coef_determination(y, predictions))





</code></pre>
</div>
				</div>
								</div>
						</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
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				</div>
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		<title>Battre le maître du jeu</title>
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		<dc:creator><![CDATA[admin]]></dc:creator>
		<pubDate>Mon, 02 Oct 2023 19:03:17 +0000</pubDate>
				<category><![CDATA[Probabilités/Statistiques]]></category>
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					<description><![CDATA[<p>Au cœur d'une taverne mystérieuse, un groupe hétéroclite se réunit pour une soirée de dés et de camaraderie. Ce qui semble être une simple soirée de jeux de hasard se transforme en une exploration des lois de probabilité, entraînant nos aventuriers dans un voyage mathématique fascinant. </p>
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									<span class="elementor-button-text">Probabilités/Statistiques</span>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-xxl">Battre le Maître du Jeu</h2>				</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Par Jordan Moles le 02 octobre, 2023</h2>				</div>
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									Au cœur d&rsquo;une taverne obscure, perdue quelque part dans un multivers étrange de Donjons et Dragons, un groupe d&rsquo;individus aussi hétéroclite que bruyant se rassemblait. Les rires tonitruants résonnaient à travers l&rsquo;établissement enfumé, tandis que des dés de toutes formes tournoyaient dans l&rsquo;air, s&rsquo;arrêtant avec un bruit sec pour déterminer le destin de leurs propriétaires. Assis sur des tabourets bancals autour d&rsquo;une vieille table en bois usée par le temps, nos héros, ou du moins ce qu&rsquo;on pouvait en qualifier, se préparaient à une soirée bien méritée de bières, de dés, et de camaraderie.								</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p> </p>
<p>Au centre de cette tablée éclectique, le Ranger se tenait, autoproclamé chef de l&rsquo;équipe.</p>
<p>Sa mission principale était de maintenir la paix au sein du groupe, notamment entre l&rsquo;Elfe et le Nain, deux individus notoirement en désaccord. </p>
<p>Cependant, malgré ses efforts, il était souvent submergé par le désespoir, surtout lorsque les événements tournaient mal. Le Ranger n&rsquo;était pas spécialisé dans une compétence particulière, mais plutôt polyvalent. </p>
<p>Il avait l&rsquo;habitude malheureuse de surestimer ses compétences et de tenter d&rsquo;utiliser des talents qu&rsquo;il ne maîtrisait pas vraiment.</p>								</div>
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									<p> </p>
<p> </p>
<p>À sa gauche, le Barbare occupait sa place.</p>
<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );"> C&rsquo;était un colosse aux muscles saillants, arborant une épée comme prolongement de son bras puissant. La vie du Barbare se résumait à deux passions : le combat et la ripaille avec le Nain. </span></p>
<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Il ne portait aucune affection pour la magie, qu&rsquo;il considérait comme une faiblesse. Il était souvent prompt à juger les autres membres du groupe comme des mauviettes ou des lâches s&rsquo;ils ne partageaient pas sa passion pour la mêlée.</span></p>								</div>
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									<p> </p>
<p> </p>
<p>De l&rsquo;autre côté de la table, l&rsquo;Elfe se prélassait avec une grâce naturelle. D&rsquo;une beauté enchanteresse, elle semblait dépourvue de tout souci. Son caractère enjoué et insouciant contrastait fortement avec celui de ses compagnons. </p>
<p>Son comportement était souvent perçu comme excentrique, bien qu&rsquo;elle ne semblait pas en avoir conscience.</p>
<p> Elle entretenait une relation tumultueuse avec le Nain, une antipathie réciproque étant devenue légendaire parmi les habitués de la taverne.</p>								</div>
				</div>
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									<p>À côté du Barbare, le Nain, guerrier robuste et colérique, se préparait à entrer dans l&rsquo;arène du jeu qui allait bientôt débuter. Son obsession première était l&rsquo;argent, et il était prêt à tout pour remplir sa bourse, même à s&#8217;embarquer dans des aventures périlleuses avec des compagnons qu&rsquo;il ne pouvait pas supporter, en particulier l&rsquo;Elfe, avec qui il entretenait une relation exécrable. </p>
<p>Le Nain était également un expert en calculs compliqués, en particulier lorsqu&rsquo;il s&rsquo;agissait de répartir le butin entre les membres du groupe, prenant en compte divers critères tels que le temps passé ensemble, la dangerosité des situations, et l&rsquo;expérience acquise lors des combats. </p>
<p>Il ne manquait jamais une occasion de savourer de bons jambons, et de brandir sa petite hache qu&rsquo;il maniait avec une grande habileté.</p>								</div>
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									<p> </p>
<p>Dans l&rsquo;ombre, le Voleur, habillé de manière discrète, observait la scène. Ses yeux perçants scrutaient la prochaine bourse à dérober. </p>
<p>Son agilité et sa dextérité légendaires faisaient de lui un maître dans l&rsquo;art du vol, mais cela signifiait aussi qu&rsquo;il ne pouvait pas s&#8217;empêcher de chaparder de petites choses, même parmi ses compagnons. </p>
<p>Son allure sombre et sa tunique en cuir noir ne laissaient que peu de traces lorsqu&rsquo;il se faufilait dans l&rsquo;ombre. Ses outils de crochetage, de vol et d&rsquo;espionnage étaient soigneusement dissimulés sous une ceinture discrète.</p>								</div>
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									<p>Ensuite la magicienne trônait juste à côté de l&rsquo;elfe. C&rsquo;était une femme aux cheveux rouge profonds passionnée par les ouvrages en tous genres qui voue une fascination particulière aux grimoires de sorts. </p>
<p>Malheureusement, ses talents en magie sont limités, et elle ne brille pas particulièrement dans ce domaine. Malgré son manque d&rsquo;aptitude magique, elle compense par sa connaissance approfondie des livres.</p>
<p>Sur le plan vestimentaire, elle porte généralement une robe longue de couleur bleu foncé, ornée de motifs argentés qui rappellent des étoiles scintillantes. Sa tenue est complétée par un chapeau pointu assorti, qui ajoute une touche de mystère à son apparence. Elle porte également une ceinture en cuir avec des poches pour ranger de petits objets magiques et des composants pour ses sorts.</p>
<p>La Magicienne demeure une source de connaissances inestimable pour le groupe et joue un rôle central au sein de la compagnie, partageant effectivement la direction de l&rsquo;équipe avec le Ranger.</p>								</div>
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									<p> </p>
<p> </p>
<p>Enfin, à ses coté, l&rsquo;Ogre se tenait, une créature imposante. Son appétit insatiable se manifestait par des grognements primitifs. Bien qu&rsquo;il soit de nature gentille, il restait une source constante de tracas, renversant des chaises et cassant des verres à intervalles réguliers. </p>
<p>Ses actions étaient principalement dictées par ses instincts, ce qui le rapprochait du Barbare, avec qui il partageait une passion pour la bonne chère. Cependant, il entretenait une relation spéciale avec la Magicienne, la seule capable de comprendre son langage.</p>								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large">Les Règles du Jeu</h2>				</div>
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									<p>Après plusieurs pintes de bière, de disputes enflammées, de blagues douteuses et d&rsquo;anecdotes épiques, l&rsquo;atmosphère dans la taverne était à son comble. Les rires bruyants et les chants désaccordés des aventuriers avaient rempli la pièce, tandis que les serveuses débordées tentaient de satisfaire les commandes toujours plus nombreuses.</p>
<p>La Magicienne, échauffée par l&rsquo;ambiance festive, décida que le moment était venu d&rsquo;ajouter une touche d&rsquo;excitation supplémentaire à la soirée. Elle sortit soudainement une série de 14 mystérieux dés de sa besace, 2 chacun, attirant immédiatement l&rsquo;attention de ses compagnons. Les regards curieux se posèrent sur les dés, tandis que les conversations se calmèrent peu à peu.</p>
<p>Le visage illuminé par un sourire malicieux, elle annonça d&rsquo;une voix claire : « Mes amis, nous allons pimenter cette soirée avec un jeu de dés ! Qui est prêt à tenter sa chance ? »</p>
<p>L&rsquo;annonce de la Magicienne suscita une vague d&rsquo;enthousiasme parmi les aventuriers déjà éméchés.</p>
<p>Le Nain, toujours avide d&rsquo;opportunités pour gagner de l&rsquo;or mais sans vouloir parier le sien, frappa la table de ses mains calleuses et s&rsquo;exclama : « Par les barbes de nos ancêtres, je suis partant ! »</p>
<p>L&rsquo;Elfe, enjouée malgré ses désaccords fréquents avec le Nain, sourit et dit : « Pourquoi pas ? Cela pourrait être amusant. »</p>
<p>Même l&rsquo;Ogre, dont l&rsquo;expression faciale limitée ne laissait pas transparaître grand-chose, émit un grognement de consentement.</p>
<p>Le ranger suivi du barbare et du voleur s&rsquo;en allèrent vite chercher de quoi se ravitailler, planche de fromage, Jambon de pays avant d&rsquo;écouter les règles du jeu attentivement.</p>
<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">La Magicienne, ravie de voir que son idée avait été si bien accueillie, fouille dans sa besace et sort un large parchemin. C&rsquo;était les lois élémentaires qu&rsquo;il fallait absolument lire avant de jouer. Elles étaient écrites d&rsquo;une drôle de manière, on aurait dit des runes que seule la magicienne pouvait déchiffrer mais voici la note transcrite magiquement dans notre langage:</span></p>
<p>Cher mortel, prenez garde car je vais vous initier aux mystères profonds qui gouvernent ces dés sacrés. Ils sont soumis à des lois énigmatiques qu&rsquo;il vous faut comprendre avant de les libérer sur la table. Suivez mes paroles avec attention, et vous découvrirez le pouvoir caché derrière chaque lancer. Voici la plus importante, celle qui les définies toutes</p>								</div>
				</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p> </p>
<p>Soit (<span style="font-size: 28px;">\(\Omega\), A) un espace mesurable, où \(\Omega\) est l&rsquo;univers et A est une tribu. Une loi de probabilité est une mesure dont la masse totale vaut 1 et vérifie les trois axiomes suivants:</span></p>
<p> </p>
<p>• Pour tout ensemble E dans A, la probabilité \(\mathbb{P}\)<span style="font-family: Gwendolyn, sans-serif; font-size: 28px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 800;">(E)</span><span style="font-size: 28px;"> est un nombre réel compris entre 0 et 1.</span></p>
<p>• La probabilité de l&rsquo;univers \(\Omega\) est égale à 1, c&rsquo;est-à-dire \(\mathbb{P}(\Omega) = 1\).</p>
<p><span style="font-family: Gwendolyn, sans-serif; font-size: 28px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;">•</span> La probabilité est \(\sigma\)-additive, ce qui signifie que pour toute famille finie ou dénombrable d&rsquo;ensembles deux à deux disjoints \((E_i, i \in I)\) de A, la probabilité de leur réunion est égale à la somme des probabilités individuelles :</p>
<p>\begin{equation*}\mathbb{P}\left(\bigcup_{i\in I} E_i\right) = \sum_{i\in I} \mathbb{P}(E_i)\end{equation*}</p>
<p>En particulier, la probabilité de l&rsquo;ensemble vide (\(\emptyset\)) est égale à 0, c&rsquo;est-à-dire \(\mathbb{P}(\emptyset) = 0\).</p>
<p> </p>								</div>
				</div>
					</div>
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					</div>
		</section>
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									<p>L&rsquo;Elfe, le Barbare et le Ranger se grattent la tête en signe de confusion, tandis que le Nain, toujours attentif à la perspective de gagner de l&rsquo;or, acquiesce en silence. La Magicienne, voyant que ses explications n&rsquo;ont pas été comprises par tous, décide de simplifier davantage.</p>
<p>Elle sort un petit morceau de papier de sa poche et commence à expliquer de manière plus concise : « D&rsquo;accord, oublions les termes compliqués. L&rsquo;univers, c&rsquo;est simplement tous les résultats possibles. Par exemple, lorsque nous lançons un dé, les résultats possibles sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6. C&rsquo;est l&rsquo;univers, que nous notons \(\Omega=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\).</p>
<p>Ensuite, une tribu, c&rsquo;est l&rsquo;ensemble de tous les sous-ensembles de l&rsquo;univers, c&rsquo;est-à-dire tous les groupes possibles de résultats que nous pouvons obtenir. Par exemple, un sous-ensemble pourrait être l&rsquo;ensemble des nombres pairs, c&rsquo;est-à-dire \(\{2, 4, 6\}\). Comprenez-vous jusqu&rsquo;ici ?</p>
<p>Passons aux axiomes. Le premier est simple : il dit juste que la probabilité d&rsquo;un événement est toujours entre 0 et 1. En d&rsquo;autres termes, cela signifie que la probabilité d&rsquo;obtenir un résultat est toujours soit nulle (impossible) ou un (certain).</p>
<p>Le deuxième axiome est encore plus simple. Il dit que la probabilité totale de tous les résultats possibles est toujours de 1. Donc, si nous ajoutons la probabilité d&rsquo;obtenir chaque nombre de notre dé, elle doit toujours être égale à 1.</p>
<p>Le troisième axiome, un peu plus complexe, signifie que si nous avons deux événements qui ne peuvent pas se produire en même temps (disjoints), alors la probabilité que l&rsquo;un ou l&rsquo;autre se produise est simplement la somme des probabilités de chacun. Par exemple, la probabilité d&rsquo;obtenir un 1 ou un 6 en lançant un dé équilibré est la somme de la probabilité d&rsquo;obtenir un 1 et la probabilité d&rsquo;obtenir un 6.</p>
<p>J&rsquo;espère que cela clarifie un peu les choses ! »</p>
<p>La Magicienne, consciente que ses compagnons commencent à s&rsquo;impatienter avec les termes techniques, décide de simplifier davantage les explications pour rendre les concepts plus accessibles.</p>
<p>Elle poursuit son récit : « Maintenant, oublions un instant les termes complexes. Les lois de probabilité peuvent être décrites en trois grandes catégories de caractéristiques comme indiqué sur ce parchemin: »</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
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									<p>•«Il y a les paramètres de position qui influencent la tendance centrale de la loi de probabilité. Ils déterminent les valeurs autour desquelles la probabilité est la plus concentrée c&rsquo;est à dire ou la plupart des résultats se regroupent. Parmi ces paramètres, on trouve l&rsquo;espérance qui est une mesure de moyenne, la médiane qui est la valeur centrale, et le mode qui est la valeur la plus fréquente. »</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
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									</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Loi de distribution normale de moyenne égale à 5 et de variance égale à 10.</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">• « Ensuite, il y a les paramètres d&rsquo;échelle. Ils mesurent à quel point les valeurs sont étalées ou serrées autour de ces valeurs centrales. La variance, l&rsquo;écart type et l&rsquo;écart interquartile sont des exemples de ces paramètres. Nous nous intéresserons souvent à la variance qui fonctionne comme ceci:</span></p>
<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Si elle est proche de zéro, cela suggère que les valeurs individuelles sont similaires et se regroupent étroitement autour de la moyenne.</span></p>
<p>En revanche, une variance élevée indique que les valeurs individuelles sont plus éloignées de la moyenne, avec une plus grande dispersion globale. »</p>								</div>
				</div>
					</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Deux lois de distribution normale de moyenne égale à 5 et de variance égale à 2 et l&rsquo;autre à 20.</span></p>								</div>
				</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;">• « Enfin, nous avons les paramètres de forme. Ils décrivent la manière dont les probabilités changent à mesure que l&rsquo;on s&rsquo;éloigne des valeurs centrales. </span></p>
<p><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;">Par exemple, l&rsquo;asymétrie mesure si la distribution est inclinée d&rsquo;un côté ou de l&rsquo;autre, et le kurtosis ou coefficient d&rsquo;aplatissement examine à quel point les valeurs sont concentrées près de la moyenne. »</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Loi de distribution normale d&rsquo;asymétrie nulle et une loi de distribution normale d&rsquo;asymétrie égale à 10. </span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large">La Loi du dé</h2>				</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>La Magicienne marque une pause, avant de conclure : « Maintenant que nous avons survolé ces concepts, plongeons dans le cœur du sujet qui semble vous intéresser : la loi de probabilité uniforme discrète. »</p>
<p>Elfe : (en chuchotant au barbare) Ah, il est pas trop tôt, c&rsquo;est bientôt l&rsquo;heure d&rsquo;aller dormir.</p>
<p>Barbare : (riant discrètement) Ouais, j&rsquo;espère que ce cours magistral va se terminer avant minuit.</p>
<p>Ranger : (en souriant) Peut-être qu&rsquo;on devrait préparer des couvertures pour nos camarades fatigués.</p>
<p>La Magicienne, les regardant d&rsquo;un air amusé, décide de continuer malgré les remarques taquines de ses compagnons.</p>
<p>Magicienne : La loi uniforme discrète est peut-être la loi de probabilité la plus importante que vous devez comprendre ici. Elle garantit l&rsquo;équiprobabilité, ce qui signifie que chaque réalisation a une probabilité identique pour chaque modalité d&rsquo;un ensemble fini de modalités possibles.</p>
<p>Le nain perds patience fasse à tant de jargon et arrache le parchemin des mains de la magicienne.</p>
<p>Nain : (fronce les sourcils) Attendez une seconde&#8230; ce vieux parchemin dit que je devrais vous donner une pièce d&rsquo;or ? Je ne suis pas sûr de comprendre pourquoi je devrais faire ça.</p>
<p>Barbare : (riant) Haha ! Le parchemin prédit l&rsquo;avenir ! Allez, donne-lui la pièce, nain !</p>
<p>Le nain refuse de donner sa pièce, mais le barbare, impatient, lui donne un coup de poing sur la tête.</p>
<p>Barbare : (riant) Allez, nain, fais-le pour l&rsquo;éducation ! Ça ne coûte qu&rsquo;une pièce.</p>
<p>L&rsquo;Ogre: (met un grand coup sur la table en riant), Zog zog.</p>
<p>L&rsquo;elfe : bien fait.</p>
<p>Le nain, légèrement sonné par le coup, finit par remettre une pièce d&rsquo;or à contrecœur à la Magicienne et le parchemin.</p>
<p>Magicienne : Parfait, merci pour votre contribution. Donc, pour mieux comprendre, imaginez une pièce de monnaie équilibrée. Lorsque vous la lancez, chaque face a la même chance d&rsquo;apparaître, soit 1/2.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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												<figure class="wp-caption">
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									</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Loi de probabilité uniforme discrète à deux modalités (Lancer de pièce).</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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									<p><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;"> Pour mes dés, c&rsquo;est la même chose. Un dé classique possède 6 faces, ce qui correspond à 6 modalités, et s&rsquo;il est </span><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );">équilibré on dit</span><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; color: var( --e-global-color-text );"> qu&rsquo;elles sont toutes équiprobables.</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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		</section>
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									<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Loi de probabilité uniforme discrète à six modalités (Lancer de dé).</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-35a64d85 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="35a64d85" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Le voleur : (d&rsquo;un air curieux) Montre-moi cette pièce, j&rsquo;aimerais l&rsquo;examiner de plus près pour mieux comprendre le pile ou face.</span></p>
<p>Magicienne : (lui tendant la pièce) Bien sûr, voici la pièce. Elle est équilibrée, donc chaque face a une chance égale de tomber.</p>
<p>Elfe : (levant la main) Attendez, pour le dé, on peut dire quoi de plus ?</p>
<p>Magicienne : (souriant) Plein de choses, voici les principales caractéristiques de ces dés :</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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									<p>On appelle \(X\) la variable aléatoire qui suit la loi uniforme discrète (le jet de dé)</p>
<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">• </span>L&rsquo;espérance : c&rsquo;est comme la moyenne, et pour un dé classique, c&rsquo;est \(\mathbb{E}(X)= \frac{6+1}{2}=3,5\)</p>
<p>• La médiane : c&rsquo;est la valeur centrale, également \(m(X)= \frac{6+1}{2}=3,5\) pour un dé équilibré</p>
<p>• Le mode : il n&rsquo;y en a pas ici, car chaque face a la même probabilité d&rsquo;apparaître.</p>
<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">•</span><span style="color: var( --e-global-color-text ); font-size: 15px;">La variance : elle mesure la dispersion des résultats, et pour un dé équilibré, elle est d&rsquo;environ \(V(X)=\frac{6^{2}-1}{12}\approx2.91\)</span></p>
<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">•</span> L&rsquo;asymétrie est nulle, et le kurtosis&#8230;<br /><br /></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>Ranger : (l&rsquo;interrompant) Excusez-moi, mais ça suffit pour les règles, non ? On a compris l&rsquo;essentiel.</p>
<p>La Magicienne: Bon, mais il reste encore deux, trois lois dans ce parchemin, la loi de probabilité triangulaire, la loi &#8230;.</p>
<p>Nain : (grincheux) Bon sang, on est pas venus ici pour faire des cours de mathématiques ! On veut lancer ces dés et jouer, pas écouter des discours interminables.</p>
<p>Barbare : (tapant sur la table) Il a raison, tout ça, c&rsquo;est bien joli, mais on veut de l&rsquo;action, pas des chiffres !</p>
<p>Le voleur : (en observant la pièce de près) Ouais, je suis d&rsquo;accord avec eux. On pourrait commencer à jouer maintenant, non ?</p>
<p>Le nain: Rend moi ma pièce!</p>
<p>Magicienne : (tentant de garder son calme) D&rsquo;accord, d&rsquo;accord, je vois que vous êtes tous très impatients. Mais avant de lancer les dés, laissez-moi juste jeter un dernier coup d&rsquo;œil à cette note en bas de page. Je veux m&rsquo;assurer que nous suivons bien toutes les règles.</p>
<p>La magicienne commence à lire rapidement la note en bas de page, mais soudain, elle s&rsquo;arrête net.</p>
<p>Magicienne : (surprise) Attendez, il y a quelque chose d&rsquo;important ici que je n&rsquo;avais pas remarqué ! Il est écrit : « Ne lancez pas la pièce avant de jouer aux dés, car&#8230; »</p>
<p>Avant qu&rsquo;elle puisse finir sa phrase, le voleur envoie la pièce d&rsquo;or en l&rsquo;air pour la rendre au nain. Mais au lieu de retomber dans sa main, la pièce commence à virevolter dans les airs de manière mystérieuse, émettant une lueur magique.</p>
<p>Nain : (surpris) Par les barbes de nos ancêtres, qu&rsquo;est-ce qui se passe ?</p>
<p>La pièce continue de tournoyer dans les airs, de plus en plus rapidement, et soudain, elle disparaît complètement, laissant tout le monde perplexes.</p>
<p>Elfe : (étonné) Où est passée la pièce ?</p>
<p>Magicienne : (choquée) Je&#8230; Je ne sais pas. Il semblerait que les dés soient plus mystérieux que je ne le pensais.</p>
<p>Barbare : (excité) Quoi qu&rsquo;il en soit, ça a l&rsquo;air amusant ! Laissez-nous lancer les dés maintenant !</p>
<p>Le nain: (énervé) ou est ma pièce ?</p>
<p>C&rsquo;était une soirée de beuverie, de paris audacieux et de tumulte dans la vieille auberge. Les aventuriers avaient fait halte pour se détendre après une longue journée d&rsquo;exploration et, comme à leur habitude, ils s&rsquo;étaient laissés emporter par l&rsquo;excitation de la soirée.</p>
<p>Le Nain, déjà de mauvaise humeur, décida que tout était toujours la faute de l&rsquo;Elfe. Il avait pris l&rsquo;Elfe comme bouc émissaire, lui attribuant la responsabilité de tous les maux du groupe, répétant sans cesse que « c&rsquo;était à cause de l&rsquo;Elfe que tout tournait mal ». Cette attitude exécrable ne faisait qu&#8217;empirer à mesure que la soirée progressait.</p>
<p>Pendant qu&rsquo;ils jouaient aux dés et pariaient de l&rsquo;argent, le Voleur avait décidé de pimenter la soirée en volant discrètement la culotte d&rsquo;une serveuse. C&rsquo;était un acte aussi audacieux que risqué, mais il avait réussi à accomplir cette prouesse avec une dextérité remarquable.</p>
<p>Le Barbare, quant à lui, avait laissé libre cours à son impulsivité en frappant le vigile à l&rsquo;entrée de l&rsquo;auberge après une dispute mineure. Le vigile n&rsquo;avait pas tardé à appeler des renforts qui avait calmé le barbare à grand coup de matraque. Ce qui avait plongé le groupe dans une situation encore plus compliquée</p>
<p>L&rsquo;Ogre, toujours affamé et curieux, avait décidé de satisfaire son appétit en avalant une boule de billard. Cela avait provoqué un grand éclat de rire parmi les clients de l&rsquo;auberge, mais aussi beaucoup d&rsquo;inquiétude quant à l&rsquo;état de santé de l&rsquo;Ogre.</p>
<p>Enfin, le Nain, complètement ivre, avait fini par vomir sa bière sur le tenancier de l&rsquo;auberge, provoquant ainsi une bagarre générale entre les aventuriers et les autres clients.</p>
<p>Le chaos qui s&rsquo;ensuivit ne pouvait que mener à une seule conclusion inévitable : tous les aventuriers se retrouvèrent finalement au cachot, où ils allaient devoir faire face à de nouvelles péripéties pour s&rsquo;échapper de cette mauvaise passe. C&rsquo;était le début d&rsquo;une aventure qui allait les entraîner bien plus loin que ce qu&rsquo;ils avaient pu imaginer lors de cette soirée de débauche et de désordre.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large">Le Donjon</h2>				</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>Le ranger, connu pour sa sagesse (du moins, il le prétendait), rassembla le groupe hétéroclite d&rsquo;aventuriers dans un coin sombre de leur cellule crasseuse. La faible lueur d&rsquo;une torche vacillante ajoutait une ambiance pittoresque à leur situation déjà pas très reluisante.</p>
<p>« Écoutez-moi, compagnons, » commença le ranger d&rsquo;une voix ferme, mais qui trahissait une certaine nervosité. « Nous sommes dans une situation critique, mais nous ne sommes pas n&rsquo;importe qui. Nous formons une troupe d&rsquo;élite, et nous ne pouvons pas nous résoudre à rester enfermés ici comme de vulgaires rats dans un égout. Ce dont nous avons besoin, c&rsquo;est d&rsquo;un plan. »</p>
<p>Là-dessus, l&rsquo;elfe et le nain commencèrent à se disputer comme des gamins, se traitant mutuellement de « suceurs de lichen » et de « mangeurs de cailloux ». Le nain, ayant la peau plus épaisse que l&rsquo;elfe (littéralement), rétorqua en insultant les oreilles pointues de l&rsquo;elfe et en lui suggérant de retourner jouer de la flûte dans la forêt.</p>
<p>Le barbare, qui avait l&rsquo;air de s&rsquo;ennuyer ferme, interrompit la querelle et décida de se servir de sa force herculéenne pour enfoncer la porte. Malheureusement, lors de l’arrestation il a reçu un violent coup sur la tête et est encore hébété par le choc. </p>
<p>Le Maître du Jeu lui demande d’effectuer son jet de dé en situation de désavantage, ce qui signifie qu’il tirera 2 fois le dé et ne gardera que le résultat le plus défavorable. De plus, la porte est en acier, faite pour encaisser les efforts de prisonniers voulant se soustraire à leur sentence. </p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>Sélectionnez: </p>
<p>Number of dice = 1</p>
<p>Type of dice = 6</p>
<p>Lancez deux fois le dé et sélectionnez le plus petit résultat.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-181d1ea8 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="181d1ea8" data-element_type="section" data-e-type="section">
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						<div class="elementor-element elementor-element-179179be elementor-widget elementor-widget-wp-widget-mh_rpg_dice_roller" data-id="179179be" data-element_type="widget" data-e-type="widget" data-widget_type="wp-widget-mh_rpg_dice_roller.default">
				<div class="elementor-widget-container">
					<div id="mh-rpg-dice-widget-container" class="widget">
	<p>Number of dice<br>
		<input type="number" id="mh-rpg-number-of-dice-widget" value="1" min="1" step="1">
	</p>
	
	<p>Type of die:<br>
		<select id="mh-rpg-die-type-widget">
			<option value="4" selected>4</option>
			<option value="6">6</option>
			<option value="8">8</option>
			<option value="10">10</option>
			<option value="12">12</option>
			<option value="20">20</option>
			<option value="100">100</option>
		</select>
	</p>

	<p>Modifier<br>
		<input type="number" id="mh-rpg-modifier-widget" value="0">
	</p>

	<label for="mh-rpg-display-all-cb-widget">Display all rolls? 
	<input type="checkbox" id="mh-rpg-display-all-cb-widget"></label><br>

	<button type="button" id="mh-rpg-roll-button-widget">Roll</button>
	<p>Result: <span id="mh-rpg-dice-roll-widget"></span> 
	<span id="mh-rpg-all-rolls-widget"></span></p>
</div>
				</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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									Quel résultat obtenez-vous ?								</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p> </p>
<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">P. Barbé et M. Ledoux, Probabilité, Les Ulis, EDP Sciences, 2007.</span></p>
<p>P. Bogaert, Probabilités pour scientifiques et ingénieurs : Introduction au calcul des probabilités, Paris, Éditions De Boeck, 2006.</p>
<p>M. Lejeune, Statistique : la théorie et ses applications, Springer Science et Business Media, 2004.</p>
<p>F. Caravenna, P. Dai Pra et Q. Berger, Introduction aux probabilités : Modèles et applications : mathématiques, physique, informatique, sciences de l&rsquo;ingénieur, biologie, Dunod, 1er septembre 2021.</p>
<p> </p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-77628591 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="77628591" data-element_type="section" data-e-type="section">
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												<span class="elementor-toggle-icon elementor-toggle-icon-left" aria-hidden="true">
															<span class="elementor-toggle-icon-closed"><i class="fas fa-caret-right"></i></span>
								<span class="elementor-toggle-icon-opened"><i class="elementor-toggle-icon-opened fas fa-caret-up"></i></span>
													</span>
												<a class="elementor-toggle-title" tabindex="0">Représentation de la moyenne</a>
					</div>

					<div id="elementor-tab-content-7621" class="elementor-tab-content elementor-clearfix" data-tab="1" role="region" aria-labelledby="elementor-tab-title-7621">
<pre class="wp-block-code has-black-background-color has-background"><code class="language-python line-numbers" lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm

# Parameters for normal distributions
mean = 5  # Common mean for both distributions
variance1 = 10  # Variance for the first example
variance2 = 20  # Variance for the second example

# Generate data for the two distributions
x = np.linspace(-10, 20, 1000)
pdf1 = norm.pdf(x, loc=mean, scale=np.sqrt(variance1))
pdf2 = norm.pdf(x, loc=mean, scale=np.sqrt(variance2))

# Plot probability density functions with transparent fill color
plt.plot(x, pdf1, label=f'Variance={variance1}')
plt.fill_between(x, pdf1, alpha=0.3)
#plt.plot(x, pdf2, label=f'Variance={variance2}')
#plt.fill_between(x, pdf2, alpha=0.3)

# Calculate the mean for both cases (they should be equal)
mean1 = mean
mean2 = mean

# Draw vertical lines for the means
plt.axvline(x=mean1, color='r', linestyle='--', label=f'Mean')

plt.xlabel('Values')
plt.ylabel('Probability')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

print(f"Mean (Var={variance1}): {mean1:.2f}")
print(f"Mean (Var={variance2}): {mean2:.2f}")





</code></pre>
</div>
				</div>
							<div class="elementor-toggle-item">
					<div id="elementor-tab-title-7622" class="elementor-tab-title" data-tab="2" role="button" aria-controls="elementor-tab-content-7622" aria-expanded="false">
												<span class="elementor-toggle-icon elementor-toggle-icon-left" aria-hidden="true">
															<span class="elementor-toggle-icon-closed"><i class="fas fa-caret-right"></i></span>
								<span class="elementor-toggle-icon-opened"><i class="elementor-toggle-icon-opened fas fa-caret-up"></i></span>
													</span>
												<a class="elementor-toggle-title" tabindex="0">Représentation de la variance</a>
					</div>

					<div id="elementor-tab-content-7622" class="elementor-tab-content elementor-clearfix" data-tab="2" role="region" aria-labelledby="elementor-tab-title-7622">
<pre class="wp-block-code has-black-background-color has-background"><code class="language-python line-numbers" lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm

# Parameters for normal distributions
mean = 5  # Common mean for both distributions
variance1 = 10  # Variance for the first example
variance2 = 20  # Variance for the second example

# Generate data for the two distributions
x = np.linspace(-10, 20, 1000)
pdf1 = norm.pdf(x, loc=mean, scale=np.sqrt(variance1))
pdf2 = norm.pdf(x, loc=mean, scale=np.sqrt(variance2))

# Plot probability density functions with transparent fill color
plt.plot(x, pdf1, label=f'Variance={variance1}')
plt.fill_between(x, pdf1, alpha=0.3)
plt.plot(x, pdf2, label=f'Variance={variance2}')
plt.fill_between(x, pdf2, alpha=0.3)

# Calculate the mean for both cases (they should be equal)
mean1 = mean
mean2 = mean

# Draw vertical lines for the means
plt.axvline(x=mean1, color='r', linestyle='--', label=f'Mean')

plt.xlabel('Values')
plt.ylabel('Probability')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

print(f"Mean (Var={variance1}): {mean1:.2f}")
print(f"Mean (Var={variance2}): {mean2:.2f}")





</code></pre>
</div>
				</div>
							<div class="elementor-toggle-item">
					<div id="elementor-tab-title-7623" class="elementor-tab-title" data-tab="3" role="button" aria-controls="elementor-tab-content-7623" aria-expanded="false">
												<span class="elementor-toggle-icon elementor-toggle-icon-left" aria-hidden="true">
															<span class="elementor-toggle-icon-closed"><i class="fas fa-caret-right"></i></span>
								<span class="elementor-toggle-icon-opened"><i class="elementor-toggle-icon-opened fas fa-caret-up"></i></span>
													</span>
												<a class="elementor-toggle-title" tabindex="0">Représentation de l'asymétrie</a>
					</div>

					<div id="elementor-tab-content-7623" class="elementor-tab-content elementor-clearfix" data-tab="3" role="region" aria-labelledby="elementor-tab-title-7623">
<pre class="wp-block-code has-black-background-color has-background"><code class="language-python line-numbers" lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import skewnorm

# Parameters for the normal distribution
mean1 = 5
std_dev1 = 2
skewness1 = 0  

# Parameters for the asymmetric normal distribution
mean2 = 5
std_dev2 = 2
skewness2 = 10  # Positive skewness (right-skewed)

# Create a range of x values
x = np.linspace(0, 10, 1000)

# Calculate the probability density functions (PDFs) for both distributions
pdf1 = skewnorm.pdf(x, skewness1, loc=mean1, scale=std_dev1)
pdf2 = skewnorm.pdf(x, skewness2, loc=mean2, scale=std_dev2)

# Plot the PDFs as curves
plt.plot(x, pdf1, label=f'Skewness={skewness1}')
plt.fill_between(x, pdf1, alpha=0.3)
plt.plot(x, pdf2, label=f'Skewness={skewness2}')
plt.fill_between(x, pdf2, alpha=0.3)

plt.xlabel('Values')
plt.ylabel('Probability')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()





</code></pre>
</div>
				</div>
							<div class="elementor-toggle-item">
					<div id="elementor-tab-title-7624" class="elementor-tab-title" data-tab="4" role="button" aria-controls="elementor-tab-content-7624" aria-expanded="false">
												<span class="elementor-toggle-icon elementor-toggle-icon-left" aria-hidden="true">
															<span class="elementor-toggle-icon-closed"><i class="fas fa-caret-right"></i></span>
								<span class="elementor-toggle-icon-opened"><i class="elementor-toggle-icon-opened fas fa-caret-up"></i></span>
													</span>
												<a class="elementor-toggle-title" tabindex="0">Loi uniforme discrète du lancer de pièce</a>
					</div>

					<div id="elementor-tab-content-7624" class="elementor-tab-content elementor-clearfix" data-tab="4" role="region" aria-labelledby="elementor-tab-title-7624">
<pre class="wp-block-code has-black-background-color has-background"><code class="language-python line-numbers" lang="python">
import matplotlib.pyplot as plt

# Define possible values (coin faces)
values = [0, 1]

# Calculate uniform probabilities (each face has a 1/2 probability)
probabilities = [1/2] * 2

# Set the values to display on the y-axis
plt.yticks([0, 0.25, 1/2, 0.75, 1])

# Create the scatter plot
plt.plot(values, probabilities, marker='o', color='black', label='Probabilities', ls='--')

# Limit the y-axis scale from 0 to 1
plt.ylim(0, 1)

# Label the axes and add a title
plt.xlabel('Coin Value')
plt.ylabel('Probability')


# Display the plot
plt.grid(True)
plt.legend(loc='upper right')
plt.show()




</code></pre>
</div>
				</div>
							<div class="elementor-toggle-item">
					<div id="elementor-tab-title-7625" class="elementor-tab-title" data-tab="5" role="button" aria-controls="elementor-tab-content-7625" aria-expanded="false">
												<span class="elementor-toggle-icon elementor-toggle-icon-left" aria-hidden="true">
															<span class="elementor-toggle-icon-closed"><i class="fas fa-caret-right"></i></span>
								<span class="elementor-toggle-icon-opened"><i class="elementor-toggle-icon-opened fas fa-caret-up"></i></span>
													</span>
												<a class="elementor-toggle-title" tabindex="0">Loi uniforme discrète du lancer de dé</a>
					</div>

					<div id="elementor-tab-content-7625" class="elementor-tab-content elementor-clearfix" data-tab="5" role="region" aria-labelledby="elementor-tab-title-7625">
<pre class="wp-block-code has-black-background-color has-background"><code class="language-python line-numbers" lang="python">
import matplotlib.pyplot as plt

# Define possible values (dice faces)
values = [1, 2, 3, 4, 5, 6]

# Calculate uniform probabilities (each face has a 1/6 probability)
probabilities = [1/6] * 6

# Create the scatter plot
plt.plot(values, probabilities, marker='o', color='black', label='Probabilities', ls='--')

# Set the values to display on the y-axis
plt.yticks([0, 1/6, 0.25, 0.5, 0.75, 1])

# Label the axes and add a title
plt.xlabel('Dice Value')
plt.ylabel('Probability')

 
# Display the plot
plt.grid(True)
plt.legend(loc='upper right')
plt.show()




</code></pre>
</div>
				</div>
								</div>
						</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				</div>
		<p>L’article <a href="https://theeventhorizons.com/fr/battre-le-maitre-du-jeu/">Battre le maître du jeu</a> est apparu en premier sur <a href="https://theeventhorizons.com/fr/home-francais">The Event Horizons</a>.</p>
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					<wfw:commentRss>https://theeventhorizons.com/fr/battre-le-maitre-du-jeu/feed/</wfw:commentRss>
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			</item>
		<item>
		<title>Wall-E: Les Fondations de son Intelligence</title>
		<link>https://theeventhorizons.com/fr/wall-e-les-fondations-de-son-intelligence/</link>
					<comments>https://theeventhorizons.com/fr/wall-e-les-fondations-de-son-intelligence/#respond</comments>
		
		<dc:creator><![CDATA[admin]]></dc:creator>
		<pubDate>Sat, 02 Sep 2023 20:33:51 +0000</pubDate>
				<category><![CDATA[Intelligence Artificielle]]></category>
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					<description><![CDATA[<p>Dans un monde post-apocalyptique rempli de déchets, Wall-E est un robot solitaire chargé de recycler. Cependant, il ne se contente pas de trier les déchets, il apprend et s'adapte, montrant ainsi les débuts de l'intelligence artificielle.</p>
<p>L’article <a href="https://theeventhorizons.com/fr/wall-e-les-fondations-de-son-intelligence/">Wall-E: Les Fondations de son Intelligence</a> est apparu en premier sur <a href="https://theeventhorizons.com/fr/home-francais">The Event Horizons</a>.</p>
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									<span class="elementor-button-text">	Intelligence Artificielle</span>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-xxl">Wall-E: Les Fondations de son Intelligence</h2>				</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Par Jordan Moles le 2 Septembre, 2023</h2>				</div>
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									<p style="text-align: center;"><strong>Dans un monde post-apocalyptique dévasté, où les vestiges de la civilisation humaine sont enfouis sous d&rsquo;immenses montagnes de déchets, un petit robot solitaire du nom de Wall-E se fraie un chemin à travers ce paysage dystopique. Sa mission : le recyclage méthodique des déchets abandonnés depuis des années. Mais Wall-E ne se contente pas de trier les morceaux de plastique, les plaques de métal et les matières organiques.</strong></p><p style="text-align: center;"><strong> À travers ses interactions avec son environnement, ce robot dévoué collecte également une abondance d&rsquo;informations, analyse des millions de données et apprend de ses expériences pour s&rsquo;adapter, survivre et accomplir ses tâches avec une efficacité remarquable. Les capacités de ce qui semblait être qu&rsquo;un simple petite robot collecteur de déchets révèle les prémices d&rsquo;un domaine en plein essor: l&rsquo;intelligence artificielle.<br /></strong></p>								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large">L'essence même de l'intelligence artificielle : l'apprentissage</h2>				</div>
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									<p>Dans les premiers éclats de son existence, notre petit robot, à l&rsquo;instar d&rsquo;un ordinateur, naquit pour plonger dans les abîmes des calculs, ceux qui exigeraient des millions d&rsquo;années pour trouver une réponse humaine. Les tâches, jadis titanesques pour les âmes terrestres, se dressèrent devant lui, insistant pour qu&rsquo;il les apprivoise.</p>
<p>Mais dans ses circuits, une transformation allait se jouer. Une transformation qui s&rsquo;inspira des génies de la science du monde entier. Ils insufflèrent en notre robot une forme unique d&rsquo;intelligence, une étincelle numérique qui changea la donne. Wall-E, jusque-là une machine, devenait une entité qui apprendrait et prendrait des décisions complexes. C&rsquo;était l&rsquo;aube de l&rsquo;intelligence artificielle, une nouvelle ère technologique.</p>
<p>Face aux défis grandissants, Wall-E montra sa versatilité. Il s&rsquo;engagea sans effort dans les deux types de situations que l&rsquo;humanité lui présentait. Dans un cas, il suivait docilement les calculs programmés par les humains, répondant comme une calculatrice répondrait à un simple \(1+1\).</p>
<p>Cependant, il fut confronté à une énigme beaucoup plus complexe : comment différencier les types de déchets qu&rsquo;il rencontrait ? Comment reconnaître le plastique du métal ou du matériau organique ? Ou plus généralement, comment résoudre un problème donnée sans connaître le calcul requis à sa résolution? C&rsquo;est ici que l&rsquo;apprentissage entre en scène, une méthode fascinante que nous appelons <span style="color: #4b4b4b;"><strong>le Machine Learning</strong></span>. Une méthode qui ouvre une porte lorsque nous ne savons pas quelle clé utiliser. Le Machine Learning est une clé maîtresse pour une multitude de tâches : reconnaissance d&rsquo;images, prédictions boursières, estimation de valeurs d&rsquo;or, détection de failles en cybersécurité et, bien sûr, dans notre cas : le tri de déchets.</p>
<p>Pour doter cet ordinateur d&rsquo;une intelligence apprenante, des méthodes inspirées de notre propre processus d&rsquo;apprentissage ont été mises en œuvre. Parmi elles, se distinguent trois approches fondamentales:								</div>
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<p>• Tout d&rsquo;abord, <span style="color: #4b4b4b;"><strong>l&rsquo;apprentissage supervisé</strong></span>, qui constitue la pierre angulaire du Machine Learning. À l&rsquo;instar de notre propre expérience d&rsquo;acquisition de connaissances, cette méthode guide le petit ordinateur à roulette en lui fournissant des exemples pré-étiquetés. Comme un apprenti avide d&rsquo;assimiler les savoirs, Wall-E est exposé à des situations où les résultats attendus sont déjà connus. Puis, en observant ces exemples, il parvient peu à peu à généraliser les relations entre les entrées et les sorties, lui permettant ainsi de prendre des décisions et de résoudre des problèmes similaires auxquels il sera plus tard confronté.</p>
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									<p>• Ensuite,<strong><span style="color: #4b4b4b;"> l&rsquo;apprentissage non supervisé</span></strong>, une forme plus libre et exploratoire de l&rsquo;intelligence artificielle. Cette méthode permet à l&rsquo;ordinateur de découvrir de manière autonome des structures et des modèles cachés au sein des données, sans la nécessité d&rsquo;exemples pré-étiquetés. Tel un explorateur intrépide, Wall-E utilise son analyse sensorielle pour discerner des schémas, regrouper des informations similaires et explorer les nuances de son environnement. À travers cette exploration sans contrainte, il acquiert une compréhension profonde du monde qui l&rsquo;entoure, révélant ainsi des connaissances insoupçonnées.</p>
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									<p>• Enfin, <strong><span style="color: #4b4b4b;">l&rsquo;apprentissage par renforcement</span></strong>, qui s&rsquo;appuie sur un système de récompenses et de punitions pour guider l&rsquo;ordinateur dans son apprentissage. À l&rsquo;instar de nos propres motivations, Wall-E est récompensé lorsqu&rsquo;il accomplit une tâche avec succès et subit des conséquences négatives en cas d&rsquo;échec. Ces encouragements et ces sanctions lui permettent d&rsquo;optimiser ses actions, de prendre des décisions intelligentes et d&rsquo;affiner ses compétences au fil du temps.</p>								</div>
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									<h2 data-elementor-setting-key="title" data-pen-placeholder="Écrivez ici..."> </h2><h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large elementor-inline-editing pen" style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 29px; font-style: normal; color: #414141;" data-elementor-setting-key="title" data-pen-placeholder="Écrivez ici...">Bébé robot deviendra grand: L&rsquo;architecture de l&rsquo;apprentissage supervisé</h2><div> </div><p>A la naissance de Wall-E, l&rsquo;humanité avait déjà tracé son exode vers les confins lointains de l&rsquo;espace, laissant derrière elle une Terre étouffée sous le poids du dérèglement climatique et de la pollution envahissante. Les équilibres naturels qui avaient depuis si longtemps bercé notre monde avaient flanché, reléguant la planète à une nouvelle réalité. Les cités autrefois rayonnantes de vitalité et d&rsquo;effervescence n&rsquo;étaient plus que des vestiges, des témoins silencieux d&rsquo;une ère désormais révolue.</p><p>Cependant, un groupe de scientifiques s&rsquo;était engagé à rester sur cette terre fatiguée, guidé par une vision audacieuse : instruire ce petit robot plein de potentiel, à différencier les métaux, à trier les plastiques, tout cela en vue d&rsquo;une mission cruciale &#8211; nettoyer et régénérer la planète elle-même.</p>								</div>
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									<p>C&rsquo;est ainsi que s&rsquo;amorça une phase d&rsquo;apprentissage, où les savoirs humains furent transmis à Wall-E. Les scientifiques employèrent une méthode particulière pour guider ce robot apprenti : l&rsquo;apprentissage supervisé. Cette base fondamentale du Machine Learning offrait à Wall-E la possibilité d&rsquo;évoluer et de grandir en absorbant des exemples clairement pré-étiquetés. </p><p>Les prémices de cette aventure s&rsquo;articulent autour de ce principe, nous invitant à plonger dans les rouages complexes de l&rsquo;apprentissage et à découvrir les éléments cruciaux qui l&rsquo;animent.</p>								</div>
				</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-medium">1. Le Dataset : Un trésor d'informations</h2>				</div>
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									<p>Telle une mine d&rsquo;or pour Wall-E, <strong><span style="color: #4b4b4b;">le dataset</span></strong>, ou ensemble de données, constitue une collection organisée d&rsquo;exemples sur lesquels le robot basera son apprentissage. Chaque exemple se compose de diverses variables d&rsquo;entrée (<span style="color: #4b4b4b;"><strong>features</strong></span>) qu&rsquo;il disposera dans une matrice (une sorte de tableau) et des sorties attendues correspondantes (<strong><span style="color: #4b4b4b;">targets</span></strong>) qu&rsquo;il disposera dans un vecteur (une colonne). Ces dernières variables sont celles que Wall-E cherchera à prédire. </p><p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Par exemple, si nous désirons enseigner à Wall-E à reconnaître des déchets, les caractéristiques spécifiques des objets constitueront les données d&rsquo;entrée (densité, conductivité thermique, électrique, etc.), et les étiquettes indiquant le type de chaque objet constitueront les sorties attendues (plastique, métallique ou organique). Rien de bien compliqué avec ce petit tableau en exemple contenant 5 échantillons.</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
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<table id="tablepress-1" class="tablepress tablepress-id-1">
<thead>
<tr class="row-1">
	<th class="column-1">Indice</th><th class="column-2">Densité</th><th class="column-3">Conductivité Electrique (\(S.m^{-1}\))</th><th class="column-4">Teneur en Carbone</th><th class="column-5">Matériel</th>
</tr>
</thead>
<tbody class="row-striping row-hover">
<tr class="row-2">
	<td class="column-1">1</td><td class="column-2">4.5</td><td class="column-3">\(2.4 \times 10^{6}\)</td><td class="column-4">0</td><td class="column-5">Métal</td>
</tr>
<tr class="row-3">
	<td class="column-1">2</td><td class="column-2">0.5</td><td class="column-3">\(10^{-16}\)</td><td class="column-4">0.5</td><td class="column-5">Organique</td>
</tr>
<tr class="row-4">
	<td class="column-1">3</td><td class="column-2">19.3</td><td class="column-3">\(41 \times 10^{6}\)</td><td class="column-4">0</td><td class="column-5">Métal</td>
</tr>
<tr class="row-5">
	<td class="column-1">4</td><td class="column-2">1.1</td><td class="column-3">\(10^{-16}\)</td><td class="column-4">0.4</td><td class="column-5">Organique</td>
</tr>
<tr class="row-6">
	<td class="column-1">5</td><td class="column-2">1.2</td><td class="column-3">\(10^{-14}\)</td><td class="column-4">0</td><td class="column-5">Plastique</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<!-- #tablepress-1 from cache --></div>
						</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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Evidemment, en tant que robot trieur de déchet, cette tâche constitue sa mission principale. Mais notre petit robot se passionne aussi pour l&rsquo;estimation du prix des métaux, notamment celui de l&rsquo;or. Cependant, comme il ne comprends pas vraiment le système monétaire humain, il converti tout en boulon. Donc pour le divertir, les scientifiques lui font analyser chaque bout de métal dorée pour en déterminer sa pureté et ils lui donnent sa valeur marchande. Voici, Un exemple illustratif avec 5 variables.								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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<table id="tablepress-4" class="tablepress tablepress-id-4">
<thead>
<tr class="row-1">
	<th class="column-1">Indice</th><th class="column-2">Pureté</th><th class="column-3">Prix de l'Or</th>
</tr>
</thead>
<tbody class="row-striping row-hover">
<tr class="row-2">
	<td class="column-1">1</td><td class="column-2">0.374540</td><td class="column-3">1224.193388</td>
</tr>
<tr class="row-3">
	<td class="column-1">2</td><td class="column-2">0.950714</td><td class="column-3">1483.925567</td>
</tr>
<tr class="row-4">
	<td class="column-1">3</td><td class="column-2">0.731994</td><td class="column-3">1360.214557</td>
</tr>
<tr class="row-5">
	<td class="column-1">4</td><td class="column-2">0.598658</td><td class="column-3">1284.274057</td>
</tr>
<tr class="row-6">
	<td class="column-1">5</td><td class="column-2">0.156019</td><td class="column-3">1004.083221</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<!-- #tablepress-4 from cache --></div>
						</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-786a053b elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="786a053b" data-element_type="section" data-e-type="section">
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									Grâce à une base d&rsquo;apprentissage beaucoup plus fourni, il pourra apprendre à classer le métal, le plastique et les matières organiques en fonction de leurs caractéristiques et évaluer le prix d&rsquo;un métal inconnu en fonction de sa pureté.								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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		</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-medium">2. Le Modèle et ses Paramètres : L'Architecture de l'Apprentissage</h2>				</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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									<p>Maintenant, permettez-moi de vous présenter la structure que Wall-E utilisera pour apprendre à partir du jeu de données. Cela sera notre modèle. Imaginez une « boîte noire » comme un dispositif électronique que Wall-E utilise pour traiter l&rsquo;information et faire des prédictions. Elle est « noire » dans le sens où son fonctionnement interne est quelque peu mystérieux et complexe, du moins du point de vue de Wall-E. À l&rsquo;intérieur de cette boîte, il y a des engrenages, des leviers et des mécanismes cachés qui transforment les entrées (les données collectées par Wall-E) en sorties (les prédictions faites par Wall-E).</p>
<p>À l&rsquo;intérieur de cette boîte noire, se trouvent les « paramètres ». Ce sont comme les réglages internes que Wall-E peut ajuster pour améliorer sa capacité à faire des prédictions précises. Imaginez que ce sont les boutons et les molettes secrets que Wall-E peut tourner et appuyer pour rendre la boîte noire plus efficace.</p>
<p>Lorsque nous parlons de « modèle », nous nous référons à une configuration spécifique de cette boîte noire ou à la manière dont chaque pièce interagit avec le reste du système.</p>
<p>L&rsquo;apprentissage supervisé consiste à ajuster les paramètres de cette boîte noire de manière à ce que les prédictions qu&rsquo;elle génère soient aussi proches que possible des bonnes réponses (étiquettes) fournies dans l&rsquo;ensemble de données d&rsquo;entraînement. En ajustant les paramètres et en observant comment les prédictions changent, Wall-E essaie de comprendre comment cette boîte noire fonctionne réellement et comment l&rsquo;améliorer.</p>
<p>Ces modèles peuvent être de natures différentes, certains sont linéaires et d&rsquo;autres sont non linéaires. Commençons par explorer les modèles linéaires :</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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				<div class="elementor-widget-container">
					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Modèles Linéaires : La Simplicité dans la Linéarité</h2>				</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-55b71ebd elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="55b71ebd" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>Ce sont des représentations mathématiques relativement simples mais puissantes. Ils assument que la relation entre les entrées et les sorties est linéaire, ce qui signifie qu&rsquo;elle peut être représentée par une droite (ou un plan ou un hyperplan dans un espace multidimensionnel).</p><p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Comme mentionné plus haut, les scientifiques n&rsquo;ont pas simplement limité le robot au simple recyclage de déchets, mais ils lui ont également appris à estimer le prix d&rsquo;un métal en fonction de sa pureté. En reprenant donc ses données, Wall-E dispose d&rsquo;un dataset comprenant uniquement k échantillons d&rsquo;or dont sa pureté sera la caractéristique d&rsquo;entrée \(x^{(k)}\) et le prix correspondant sera la cible \(y^{(k)}\). Reprenons le tableau précédent pour illustrer cela.</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-3c096cb5 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="3c096cb5" data-element_type="section" data-e-type="section">
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<table id="tablepress-5" class="tablepress tablepress-id-5">
<thead>
<tr class="row-1">
	<th class="column-1">Indice</th><th class="column-2">x</th><th class="column-3">y</th>
</tr>
</thead>
<tbody class="row-striping row-hover">
<tr class="row-2">
	<td class="column-1">1</td><td class="column-2">0.374540</td><td class="column-3">1224.193388</td>
</tr>
<tr class="row-3">
	<td class="column-1">2</td><td class="column-2">0.950714</td><td class="column-3">1483.925567</td>
</tr>
<tr class="row-4">
	<td class="column-1">3</td><td class="column-2">0.731994</td><td class="column-3">1360.214557</td>
</tr>
<tr class="row-5">
	<td class="column-1">4</td><td class="column-2">0.598658</td><td class="column-3">1284.274057</td>
</tr>
<tr class="row-6">
	<td class="column-1">5</td><td class="column-2">0.156019</td><td class="column-3">1004.083221</td>
</tr>
</tbody>
</table>
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						</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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									<p>Ici, on a donc 5 échantillons d&rsquo;or avec leurs données respectives qui nous indique par exemple que l&rsquo;échantillon 2 possède une pureté \(x^{(2)}=0.731994\) et vaut \(y^{(2)}=1360.214557\) boulons.</p>
<p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">On affiche donc sur le graphique les données contenues dans le tableau (on en affiche 50 au lieu de 5 et dites vous qu&rsquo;il peut y en avoir des millions).</span><br></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
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										</figure>
									</div>
				</div>
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		</div>
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									<p>Un tel modèle pourrait donc être représenté par une équation de la forme \(y = ax + b\), où « a » (la pente) et « b » (l&rsquo;ordonnée à l&rsquo;origine) sont les paramètres ajustables à l&rsquo;intérieur de la boîte noire du modèle. </p><p>L&rsquo;apprentissage supervisé vise à trouver les valeurs optimales de « a » et « b » pour que le modèle puisse tracer la meilleure droite possible qui minimise l&rsquo;erreur entre les prédictions et les valeurs réelles.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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									<p>Bien sûr, la réalité est plus complexe que cela, et pour une estimation plus précise du prix de l&rsquo;or, il serait nécessaire de prendre en compte des informations historiques sur les prix de l&rsquo;or au fil du temps, ainsi que des caractéristiques économiques, politiques et géopolitiques pertinentes qui peuvent influencer sa valeur.</p><p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Bien que les modèles linéaires soient simples et faciles à interpréter, ils peuvent être limités dans leur capacité à capturer des relations complexes entre les variables. C&rsquo;est là que les modèles non-linéaires entrent en scène.</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Modèles Non-Linéaires : L'Elégance dans la Complexité</h2>				</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-6e69b632 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="6e69b632" data-element_type="section" data-e-type="section">
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									Quant à eux, les modèles non-linéaires offrent une flexibilité accrue par rapport aux modèles linéaires. Ils sont capables de capturer des relations complexes et évidemment non-linéaires entre les entrées et les sorties, permettant ainsi de représenter des comportements plus sophistiqués des données.

Si on imagine qu’en fait nous avons des données différentes se comportant plutôt comme cela.								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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										</figure>
									</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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												<figure class="wp-caption">
										<img loading="lazy" decoding="async" width="1994" height="1194" src="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/08/graphique-7.png" class="attachment-2048x2048 size-2048x2048 wp-image-2069" alt="" srcset="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/08/graphique-7.png 1994w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/08/graphique-7-300x180.png 300w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/08/graphique-7-1024x613.png 1024w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/08/graphique-7-768x460.png 768w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/08/graphique-7-1536x920.png 1536w" sizes="(max-width: 1994px) 100vw, 1994px" />											<figcaption class="widget-image-caption wp-caption-text">Classification Plastique-Métal</figcaption>
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									</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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												<figure class="wp-caption">
										<img loading="lazy" decoding="async" width="300" height="279" src="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/08/RegardGauche-300x279.png" class="attachment-medium size-medium wp-image-2070" alt="" srcset="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/08/RegardGauche-300x279.png 300w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/08/RegardGauche.png 752w" sizes="(max-width: 300px) 100vw, 300px" />											<figcaption class="widget-image-caption wp-caption-text">Crédits: Disney/PIXAR</figcaption>
										</figure>
									</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>Alors de tels modèles pourrait se représenter plutôt par une équation de la forme \(y = ax^2 + bx +c\) (un polynôme de degré 2 pour la première courbe) ou des fonctions plus compliquées (comme la sigmoïde pour la deuxième) où le but est toujours de trouver les paramètres qui minimisent l’erreur. </p><p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Ainsi, le choix entre un modèle linéaire et un modèle non-linéaire dépend de la nature des données et de la complexité du problème à résoudre. Ces premiers sont généralement préférés lorsque les relations entre les variables sont simples et claires, tandis que les modèles non-linéaires sont privilégiés pour des tâches plus complexes et des jeux de données riches en informations.</span></p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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				<div class="elementor-widget-container">
					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-medium">3. La Fonction Coût : Mesurer les Erreurs</h2>				</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-34fc4f88 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="34fc4f88" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>Pour mesurer à quel point Wall-E est bon dans cette tâche d&rsquo;estimation d&rsquo;or, nous utilisons une fonction spéciale appelée <strong><span style="color: #4b4b4b;">Fonction Coût</span></strong>. Cette fonction joue un rôle essentiel en quantifiant les erreurs entre les estimations de prix faites par Wall-E et les véritables prix de l&rsquo;or issus des données historiques. Elle calcule l&rsquo;erreur pour chaque estimation, puis somme ces erreurs pour former une mesure globale de la performance de Wall-E dans l&rsquo;estimation du prix de l&rsquo;or.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-7b1280fc elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="7b1280fc" data-element_type="section" data-e-type="section">
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				<div class="elementor-widget-container">
												<figure class="wp-caption">
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										</figure>
									</div>
				</div>
					</div>
		</div>
				<div class="elementor-column elementor-col-50 elementor-top-column elementor-element elementor-element-463235a8" data-id="463235a8" data-element_type="column" data-e-type="column">
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									En véritable perfectionniste, Wall-E s&rsquo;efforce donc d&rsquo;avoir une Fonction Coût adapté au modèle et aussi petite que possible. Cela signifie qu&rsquo;il souhaite minimiser les erreurs entre ses estimations de prix et les prix réels, afin d&rsquo;effectuer ses prédictions avec la plus grande précision. 								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-default">4. L' Algorithme d'Apprentissage : Trouver l'Optimum</h2>				</div>
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									<p>Pour parvenir à réduire cette Fonction Coût, Wall-E utilise un algorithme bien connu que l&rsquo;on appelle <strong><span style="color: #4b4b4b;">la descente de gradient</span></strong>. Cette technique lui permet d&rsquo;ajuster progressivement ses paramètres internes (pour le modèle linéaire, il ajuste a et b) en fonction des erreurs commises lors de l&rsquo;estimation des prix de l&rsquo;or. À chaque étape de l&rsquo;apprentissage, Wall-E améliore ses performances en se rapprochant de l&rsquo;optimum, c&rsquo;est à dire là où la Fonction Coût est minimale.</p>								</div>
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									<p>On remarque qu&rsquo;à chaque itération, les erreurs deviennes de plus en plus faible jusqu&rsquo;à atteindre une constante. De cette façon, Wall-E devient un expert dans l&rsquo;estimation du prix de l&rsquo;or, réalisant ses prédictions avec une précision remarquable. </p>								</div>
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									<p>Ainsi, grâce à la courbe finale, il peut par exemple estimer le prix d&rsquo;un échantillon d&rsquo;or avec un taux de pureté de 0.8, ici il vaudrait plus ou moins 1400 boulons.</p>								</div>
				</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large">Un Super Robot</h2>				</div>
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									L&rsquo;univers d&rsquo;apprentissage de Wall-E s&rsquo;étend à travers une multitude d&rsquo;applications, chacune résonnant avec des problèmes bien définis mais que nous pouvons classer dans deux familles très distinctes: les régression et les classifications. 								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p><strong><span style="color: #4b4b4b;">La régression</span></strong> est une technique quantitative utilisée pour prédire des valeurs cibles continues c&rsquo;est à dire des nombres pouvant prendre n&rsquo;importe quelle valeur dans un certain intervalle. Ainsi, parmi les passions favorites de Wall-E, l&rsquo;estimation du prix de l&rsquo;or fait partie des problèmes de régression. D&rsquo;autres exemples incluent:</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
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									<p><strong>Estimation de la quantité d&rsquo;eau potable restante</strong>: Wall-E peut utiliser des données historiques sur les niveaux d&rsquo;eau souterraine, les précipitations et les taux d&rsquo;évaporation pour créer un modèle de régression. Ce modèle pourrait être utilisé pour estimer la quantité d&rsquo;eau potable restante dans les sources souterraines, permettant ainsi aux humains de mieux planifier leur utilisation de cette ressource vitale.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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									</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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									<p><strong>Prédiction de la production d&rsquo;énergie solaire</strong>: Wall-E dépend de l&rsquo;énergie solaire pour alimenter ses fonctions et se recharger. En utilisant des données sur l&rsquo;ensoleillement quotidien, la qualité des panneaux solaires et d&rsquo;autres facteurs environnementaux, Wall-E pourrait créer un modèle de régression pour prédire la production d&rsquo;énergie solaire à différents moments de la journée et dans différentes conditions météorologiques.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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									<p><strong>Estimation de la durée de vie des batteries</strong>: Les batteries de Wall-E se dégradent avec le temps et l&rsquo;utilisation. En analysant les performances passées des batteries et en prenant en compte les conditions environnementales, Wall-E pourrait développer un modèle de régression pour estimer la durée de vie résiduelle des batteries. Cela permettrait de planifier les remplacements de batteries de manière proactive.</p>								</div>
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									<p><strong>Prédiction des niveaux de pollution</strong>: Wall-E parcourt les montagnes de déchets et les zones polluées. En collectant des données sur les niveaux de pollution de l&rsquo;air et de l&rsquo;eau, ainsi que sur les pratiques de déversement de déchets, il pourrait créer un modèle de régression pour prédire les niveaux futurs de pollution dans différentes régions, aidant ainsi à identifier les zones les plus critiques pour l&rsquo;assainissement.</p>								</div>
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									<p><span style="color: #4b4b4b;"><strong>La classification</strong></span> est une autre technique d&rsquo;apprentissage supervisé dite qualitative, c&rsquo;est à dire qu&rsquo;elle est utilisée pour prédire des étiquettes ou des catégories discrètes. Donc, dans sa quête pour nettoyer la Terre, Wall-E doit trier une grande variété de déchets. En utilisant des données sur la forme, la taille, la composition, et la dangerosité des déchets, il peut créer un modèle de classification pour les catégoriser automatiquement en différentes classes (plastiques, métaux, matières organiques, déchets toxiques, etc.). Cela l&rsquo;aiderait à optimiser le processus de recyclage et à contribuer à la préservation de l&rsquo;environnement. Voici quelques exemples d&rsquo;applications:</p>								</div>
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									<p><strong>Classification des objets célestes</strong>: En se déplaçant à travers l&rsquo;univers, Wall-E rencontre une multitude d&rsquo;objets célestes, des astéroïdes aux comètes en passant par les planètes. Il peut donc créer un modèle de classification pour identifier automatiquement les différents objets célestes en fonction de leurs caractéristiques et de leurs trajectoires.</p>								</div>
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									<p><strong>Classification des émotions humaines</strong>: Lorsque Wall-E interagit avec les humains, il peut collecter des données sur les expressions faciales, les gestes, et les tonalités vocales et ainsi développer un modèle de classification pour reconnaître les émotions humaines telles que la joie, la tristesse, la peur ou la colère. Cela lui permettrait de mieux comprendre et d&rsquo;adapter ses interactions avec les êtres humains, rendant ses relations encore plus authentiques.</p>								</div>
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									<p><strong>Classification des signaux extraterrestres</strong>: En scrutant les étoiles, Wall-E peut détecter des signaux émanant d&rsquo;autres civilisations extraterrestres. Pour comprendre ces communications cosmiques, il peut utiliser l&rsquo;apprentissage supervisé pour créer un modèle de classification capable de distinguer les différents types de signaux, tels que les messages de salutation, les schémas mathématiques, ou les avertissements.</p>								</div>
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									<p>Évoluant dans ce monde complexe, le petit robot solitaire a fait preuve d&rsquo;une maîtrise inégalée à chaque défi qui se présentait à lui. Son voyage commence modestement en tant que simple collecteur de déchets, mais il évolue pour en faire un expert en estimation de valeur, révélant ainsi les fondations profondes de l&rsquo;intelligence artificielle. Cette trajectoire singulière met en lumière l&rsquo;incroyable potentiel de l&rsquo;apprentissage automatique et des techniques qui l&rsquo;accompagnent.</p><p>L&rsquo;apprentissage supervisé, véritable clé de voûte de cette intelligence, a permis à Wall-E de transcender les limitations de sa nature de machine et de devenir un apprenant agile. Guidé par des exemples pré-étiquetés, il a su assimiler des connaissances complexes et prendre des décisions judicieuses. Par la suite, il a adopté des modèles linéaires et non-linéaires pour interpréter et prédire les relations au sein des données, se métamorphosant en un maître en estimation de la valeur de l&rsquo;or et en un trieur de déchets d&rsquo;élite.</p><p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Les sections à venir s&rsquo;immergent plus en détails dans deux aspects cruciaux de l&rsquo;apprentissage supervisé:</span></p><p><strong>Partie II : Le Petit Mineur d&rsquo;Or</strong></p><p>Nous plongerons dans le modèle de régression qui a permis à Wall-E d&rsquo;acquérir une compréhension approfondie de l&rsquo;estimation de la valeur de l&rsquo;or. De l&rsquo;analyse du dataset à la conception du modèle en passant par l&rsquo;utilisation de la fonction coût et de l&rsquo;algorithme de descente de gradient, chaque étape sera méthodiquement décortiquée. Nous explorerons les nuances des modèles linéaires et non-linéaires, montrant comment Wall-E a optimisé ses performances pour devenir un maître dans l&rsquo;art de l&rsquo;estimation de l&rsquo;or.</p><p><strong>Partie III : Le Spécialiste du Tri</strong></p><p>Dans cette partie, nous pénètrerons dans l&rsquo;univers complexe du tri des déchets, une tâche à la fois cruciale et ardue. Nous détaillerons comment Wall-E a utilisé des modèles de classification pour apprendre à distinguer les différents types de déchets. Du traitement du dataset à la création du modèle de classification, en passant par les défis uniques posés par la diversité des matériaux, nous explorerons comment Wall-E est passé d&rsquo;un simple trieur de déchets à un expert en recyclage.</p><p>Tout comme Wall-E a appris à distinguer le plastique du métal et à estimer la pureté de l&rsquo;or, l&rsquo;intelligence artificielle trouve sa place dans des domaines allant de la prédiction de la production d&rsquo;énergie solaire à la classification des émotions humaines. Le génie de Wall-E reflète ainsi une évolution dans la manière dont l&rsquo;IA enrichit notre compréhension du monde et améliore nos interactions avec lui.</p><p>Le chemin parcouru par Wall-E n&rsquo;est qu&rsquo;un prologue. Les algorithmes et les modèles qu&rsquo;il a embrassés ont créé un précédent pour l&rsquo;intelligence artificielle, élargissant les horizons de ce que les machines peuvent réaliser. Et tandis que les scientifiques et les ingénieurs continuent à bâtir sur ces bases, l&rsquo;histoire de Wall-E sert de rappel inspirant : même au milieu des décombres, les déchets peuvent devenir la source précieuse de connaissances et de solutions novatrices.</p>								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large">Bibliographie</h2>				</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>G. James, D. Witten, T. Hastie et R. Tibshirani, An Introduction to Statistical Learning, Springer Verlag, coll. « Springer Texts in Statistics », 2013</p><p>D. MacKay, Information Theory, Inference, and Learning Algorithms, Cambridge University Press, 2003</p><p>T. Mitchell, Machine Learning, 1997</p><p>F. Galton,  Kinship and Correlation (reprinted 1989), Statistical Science, Institute of Mathematical Statistics, vol. 4, no 2,‎ 1989, p. 80–86</p><p>C. Bishop, Pattern Recognition And Machine Learning, Springer, 2006</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
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								<span class="elementor-toggle-icon-opened"><i class="elementor-toggle-icon-opened fas fa-caret-up"></i></span>
													</span>
												<a class="elementor-toggle-title" tabindex="0">Estimation Prix de l'Or non-Optimale</a>
					</div>

					<div id="elementor-tab-content-1411" class="elementor-tab-content elementor-clearfix" data-tab="1" role="region" aria-labelledby="elementor-tab-title-1411">
<pre class="wp-block-code has-black-background-color has-background"><code class="language-python line-numbers" lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd

# Random data generation
np.random.seed(42)  # To reproduce the same results on each run
n_samples = 50  # Number of samples
purity = np.random.rand(n_samples)  # Random purity values between 0 and 1
gold_price = 1000 + 500 * purity + np.random.normal(0, 50, n_samples)  # Gold price based on purity

# Creating the data array
data = np.column_stack((purity, gold_price))

# Creating a Pandas DataFrame for the table
df = pd.DataFrame(data, columns=['Purity', 'Gold Price'])

# Calculate a non-optimal linear regression line
x = data[:, 0]
non_optimal_line = 600 * x + 1000

# Creating the plot
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.scatter(data[:, 0], data[:, 1], label='Data')

# Adding the non-optimal linear regression line in red
plt.plot(x, non_optimal_line, color='red', label='Non-Optimal Linear Regression Line')


plt.xlabel('Gold Purity')
plt.ylabel('Gold Price')
plt.title('Relationship between Gold Purity and Price')
plt.grid(True)
plt.show()




</code></pre>
</div>
				</div>
							<div class="elementor-toggle-item">
					<div id="elementor-tab-title-1412" class="elementor-tab-title" data-tab="2" role="button" aria-controls="elementor-tab-content-1412" aria-expanded="false">
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								<span class="elementor-toggle-icon-opened"><i class="elementor-toggle-icon-opened fas fa-caret-up"></i></span>
													</span>
												<a class="elementor-toggle-title" tabindex="0">Estimation Prix de l'Or non-Optimale avec Erreurs</a>
					</div>

					<div id="elementor-tab-content-1412" class="elementor-tab-content elementor-clearfix" data-tab="2" role="region" aria-labelledby="elementor-tab-title-1412">
<pre class="wp-block-code has-black-background-color has-background"><code class="language-python line-numbers" lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd

# Random data generation
np.random.seed(42)  # To reproduce the same results on each run
n_samples = 50  # Number of samples
purity = np.random.rand(n_samples)  # Random purity values between 0 and 1
gold_price = 1000 + 500 * purity + np.random.normal(0, 50, n_samples)  # Gold price based on purity

# Creating the data array
data = np.column_stack((purity, gold_price))

# Creating a Pandas DataFrame for the table
df = pd.DataFrame(data, columns=['Purity', 'Gold Price'])

# Calculate a non-optimal linear regression line
x = data[:, 0]
non_optimal_line = 600 * x + 1000

# Creating the plot
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.scatter(data[:, 0], data[:, 1], label='Data')

# Adding the non-optimal linear regression line in red
plt.plot(x, non_optimal_line, color='red', label='Non-Optimal Linear Regression Line')

# Adding lines indicating errors for each point relative to the non-optimal line
for i in range(n_samples):
    plt.plot([x[i], x[i]], [data[i, 1], non_optimal_line[i]], color='green', linestyle='--', linewidth=1)

# Adding a single entry in the legend for the error lines
plt.legend(['Data', 'Non-Optimal Linear Regression Line', 'Error'])

plt.xlabel('Gold Purity')
plt.ylabel('Gold Price')
plt.title('Relationship between Gold Purity and Price')
plt.grid(True)
plt.show()




</code></pre>
</div>
				</div>
							<div class="elementor-toggle-item">
					<div id="elementor-tab-title-1413" class="elementor-tab-title" data-tab="3" role="button" aria-controls="elementor-tab-content-1413" aria-expanded="false">
												<span class="elementor-toggle-icon elementor-toggle-icon-left" aria-hidden="true">
															<span class="elementor-toggle-icon-closed"><i class="fas fa-caret-right"></i></span>
								<span class="elementor-toggle-icon-opened"><i class="elementor-toggle-icon-opened fas fa-caret-up"></i></span>
													</span>
												<a class="elementor-toggle-title" tabindex="0">Classification Plastique-Métal</a>
					</div>

					<div id="elementor-tab-content-1413" class="elementor-tab-content elementor-clearfix" data-tab="3" role="region" aria-labelledby="elementor-tab-title-1413">
<pre class="wp-block-code has-black-background-color has-background"><code class="language-python line-numbers" lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd

# Define the sigmoid function
def sigmoid(x, a, b):
    return 1 / (1 + np.exp(-(a * x + b)))

# Define the gradient descent function for sigmoid
def gradient_descent_sigmoid(X, y, P, learning_rate, n_iterations):
    m = len(y)
    cost_history = np.zeros(n_iterations)
    for i in range(n_iterations):
        P = P - learning_rate * (1/m) * X.T.dot(sigmoid(X.dot(P), 1, 0) - y)
        cost_history[i] = cost_function_sigmoid(X, y, P)
    return P, cost_history

# Define the cost function for sigmoid
def cost_function_sigmoid(X, y, P):
    m = len(y)
    return -1 / m * np.sum(y * np.log(sigmoid(X.dot(P), 1, 0)) + (1 - y) * np.log(1 - sigmoid(X.dot(P), 1, 0)))

# Random data generation for classification
np.random.seed(42)
n_samples = 50
density = np.random.uniform(0.8, 2.0, n_samples)
threshold = 1.4
material = np.where(density > threshold, 1, 0)

# Creating the design matrix X for classification
X_class = np.column_stack((np.ones(n_samples), density))

# Creating the target vector y for classification
y_class = material.reshape(material.shape[0], 1)

# Initialize P for sigmoid classification
P_class = np.random.randn(2, 1)

# Setting the learning rate and number of iterations for sigmoid classification
learning_rate_class = 0.5
n_iterations_class = 1000000

# Performing gradient descent for sigmoid classification
P_final_class, cost_history_class = gradient_descent_sigmoid(X_class, y_class, P_class, learning_rate_class, n_iterations_class)

# Calculate the sigmoid classification curve
x_range_class = np.linspace(0.8, 2.0, 100)
y_pred_sigmoid_class = sigmoid(x_range_class, P_final_class[1], P_final_class[0])

# Creating the plot for sigmoid classification
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.scatter(density, material, label='Data')
plt.plot(x_range_class, y_pred_sigmoid_class, color='red', label='Fitted Sigmoid Classification')
plt.xlabel('Density')
plt.ylabel('Material (Metal: 1, Plastic: 0)')
plt.title('Classification Using Fitted Sigmoid Curve')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

# Display the fitted parameters and cost history for sigmoid classification
print("Fitted Sigmoid Classification Parameters (a, b):", P_final_class)
plt.plot(range(n_iterations_class), cost_history_class)
plt.xlabel('Number of Iterations')
plt.ylabel('Cost')
plt.title('Cost History during Gradient Descent (Sigmoid Classification)')
plt.show()




</code></pre>
</div>
				</div>
							<div class="elementor-toggle-item">
					<div id="elementor-tab-title-1414" class="elementor-tab-title" data-tab="4" role="button" aria-controls="elementor-tab-content-1414" aria-expanded="false">
												<span class="elementor-toggle-icon elementor-toggle-icon-left" aria-hidden="true">
															<span class="elementor-toggle-icon-closed"><i class="fas fa-caret-right"></i></span>
								<span class="elementor-toggle-icon-opened"><i class="elementor-toggle-icon-opened fas fa-caret-up"></i></span>
													</span>
												<a class="elementor-toggle-title" tabindex="0">Estimation Prix de l'Or</a>
					</div>

					<div id="elementor-tab-content-1414" class="elementor-tab-content elementor-clearfix" data-tab="4" role="region" aria-labelledby="elementor-tab-title-1414">
<pre class="wp-block-code has-black-background-color has-background"><code class="language-python line-numbers" lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd

# Random data generation
np.random.seed(42)
n_samples = 50
purity = np.random.rand(n_samples)
gold_price = 1000 + 500 * purity + np.random.normal(0, 50, n_samples)  # Linear model

# Creating the data array
data = np.column_stack((purity, gold_price))

# Creating a Pandas DataFrame for the table
df = pd.DataFrame(data, columns=['Purity', 'Gold Price'])

# Define the linear function
def linear(x, a, b):
    return a * x + b

# Define the gradient descent function
def gradient_descent(X, y, P, learning_rate, n_iterations):
    m = len(y)
    cost_history = np.zeros(n_iterations)
    for i in range(n_iterations):
        P = P - learning_rate * (1/m) * X.T.dot(X.dot(P) - y)
        cost_history[i] = cost_function(X, y, P)
    return P, cost_history

# Define the cost function
def cost_function(X, y, P):
    m = len(y)
    return 1 / (2 * m) * np.sum((X.dot(P) - y) ** 2)

# Creating the design matrix X
X = np.column_stack((np.ones(n_samples), purity))

# Creating the target vector y
y = gold_price.reshape(gold_price.shape[0], 1)

# Initialize P
P = np.random.randn(2, 1)

# Setting the learning rate and number of iterations
learning_rate = 0.1
n_iterations = 1000

# Performing gradient descent
P_final, cost_history = gradient_descent(X, y, P, learning_rate, n_iterations)

# Calculate the linear regression line
x_range = np.linspace(0, 1, 100)
y_pred = linear(x_range, P_final[1], P_final[0])

# Creating the plot
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.scatter(purity, gold_price, label='Data')
plt.plot(x_range, y_pred, color='red', label='Optimal Linear Regression')
plt.xlabel('Gold Purity')
plt.ylabel('Gold Price')
plt.title('Linear Relationship between Gold Purity and Price with Linear Regression')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()



</code></pre>
</div>
				</div>
								</div>
						</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				</div>
		<p>L’article <a href="https://theeventhorizons.com/fr/wall-e-les-fondations-de-son-intelligence/">Wall-E: Les Fondations de son Intelligence</a> est apparu en premier sur <a href="https://theeventhorizons.com/fr/home-francais">The Event Horizons</a>.</p>
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			</item>
		<item>
		<title>Les Stormtroopers sont mauvais en tir ? Oui.</title>
		<link>https://theeventhorizons.com/fr/les-stormtroopers-sont-mauvais-en-tir-oui/</link>
					<comments>https://theeventhorizons.com/fr/les-stormtroopers-sont-mauvais-en-tir-oui/#respond</comments>
		
		<dc:creator><![CDATA[admin]]></dc:creator>
		<pubDate>Sun, 23 Jul 2023 17:33:03 +0000</pubDate>
				<category><![CDATA[Informatique]]></category>
		<guid isPermaLink="false">https://theeventhorizons.com/?p=1158</guid>

					<description><![CDATA[<p>Il y a bien longtemps, dans une galaxie lointaine, très lointaine, un jeune commandant emmena un bataillon de stormtroopers particulièrement maladroits sur un stand de tir. Ils semblaient destinés à manquer constamment leurs cibles, ce qui en faisait la risée de l'Empire. Cependant, Le commandant avait une idée audacieuse pour exploiter leur incompétence apparente. Dorénavant ils estimeront des aires!</p>
<p>L’article <a href="https://theeventhorizons.com/fr/les-stormtroopers-sont-mauvais-en-tir-oui/">Les Stormtroopers sont mauvais en tir ? Oui.</a> est apparu en premier sur <a href="https://theeventhorizons.com/fr/home-francais">The Event Horizons</a>.</p>
]]></description>
										<content:encoded><![CDATA[		<div data-elementor-type="wp-post" data-elementor-id="1158" class="elementor elementor-1158">
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									<span class="elementor-button-text">Informatique</span>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-xxl">Les Stormtroopers sont mauvais en tir ? Oui.</h2>				</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Par Jordan Moles le 23 Juillet, 2023</h2>				</div>
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		</section>
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									<h2 data-elementor-setting-key="title" data-pen-placeholder="Écrivez ici..."> </h2><h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large elementor-inline-editing pen" style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 29px; font-style: normal; color: #414141;" data-elementor-setting-key="title" data-pen-placeholder="Écrivez ici...">La Méthode Monte Carlo</h2><p>La méthode de Monte Carlo est une stratégie mathématique efficace utilisée pour approximer des résultats autrement impossibles à calculer avec précision. Elle repose sur l&rsquo;utilisation de nombres pseudo-aléatoires pour simuler des événements aléatoires et en déduire des résultats probables. Une illustration simple pour comprendre cette méthode serait d&rsquo;imaginer une armée de stormtroopers tirant aléatoirement sur une cible. Grâce à la méthode de Monte Carlo, nous pouvons estimer le taux de précision des stormtroopers en simulant leur tir aléatoire et en comptant le nombre de tirs qui atteignent la cible. Mais surtout, cette méthode leur permet d&rsquo;estimer des aires.</p><p>Cette méthode repose sur la loi des grands nombres, qui affirme que si un grand nombre d&rsquo;expériences aléatoires indépendantes sont réalisées, la fréquence des résultats convergera vers la probabilité théorique. Par exemple, si vous lancez une pièce de monnaie équilibrée un très grand nombre de fois, elle apparaîtra pile ou face la moitié du temps. Pour utiliser cette méthode, il faut d&rsquo;abord définir un espace de simulation d&rsquo;événements aléatoires, générer des nombres pseudo-aléatoires pour imiter ces événements, et compter le nombre d&rsquo;occurrences qui se produisent dans une région spécifique d&rsquo;intérêt. Ces informations sont ensuite utilisées pour estimer la probabilité qu&rsquo;un événement particulier se produise.</p><p>Par exemple, pour estimer le taux de précision des stormtroopers, nous pourrions définir un espace de simulation qui représente la cible, les laisser tirer, et compter le nombre de tirs qui touchent la cible. En utilisant le rapport entre le nombre de tirs qui touchent la cible et le nombre total de tirs, nous pouvons estimer le taux de précision des stormtroopers. Pour ce faire,</p><p>1. Placez un stormtrooper dans le vaste stand de tir fermé.<br />2. Dessinez un cercle de rayon de 25 mètres au centre du mur arrière carré de 50 mètres.<br />3. Maintenant, il est temps d&rsquo;ordonner au stormtrooper d&rsquo;ouvrir le feu.</p><p>« Stormtrooper, attention, cible en vue sur le mur arrière, tirez mille coups ! »</p>								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Figure 1:  Un stormtrooper essayant de tirer sur la cible et le résultat obtenu avec mille tirs.</h2>				</div>
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									Selon la cible, nous avons la preuve qu&rsquo;il n&rsquo;est pas vraiment bon en tir. En effet, il tire de manière uniforme sur le mur arrière, c&rsquo;est-à-dire que, en termes mathématiques, la probabilité de toucher une zone définie sur le mur arrière est la même que de toucher une autre zone avec la même aire. Cette probabilité est appelée distribution uniforme continue. Ces compétences limitées seront utilisées pour estimer la valeur de constantes mathématiques (comme π) et bien plus encore.								</div>
				</div>
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									<h2 data-elementor-setting-key="title" data-pen-placeholder="Écrivez ici..."> </h2><h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large elementor-inline-editing pen" style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 29px; font-style: normal; color: #414141;" data-elementor-setting-key="title" data-pen-placeholder="Écrivez ici...">Estimation de π et de la Surface du Faucon Millennium</h2><p>Avant de continuer, rappelons que l&rsquo;aire d&rsquo;un carré de côté R est \(S_{carré}=R²\) et l&rsquo;aire d&rsquo;un cercle de rayon R est \(S_{cercle}=π R²\). Nous commencerons par l&rsquo;estimation la plus simple : celle de π. Cela fonctionne en utilisant les mêmes étapes décrites précédemment.</p><p>1. Mettez l&rsquo;armée d&rsquo;un million de stormtroopers identiques dans le grand stand de tir clos.<br />2. Dessinez un cercle de rayon 25 mètres à l&rsquo;intérieur du mur arrière carré de 50 mètres.<br />3. Rappelez-vous l&rsquo;ordre.</p><p>« Stormtroopers, attention, cible sur le mur arrière en vue, tirez un coup. »</p><p>1. Comptez le nombre d&rsquo;impacts (ou de points) qui tombent à l&rsquo;intérieur du cercle.<br />2. Utilisez la proportion d&rsquo;impacts à l&rsquo;intérieur du cercle par rapport au nombre total d&rsquo;impacts générés pour estimer π. Plus précisément, vous pouvez utiliser la formule suivante :</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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				<div class="elementor-widget-container">
									\begin{equation*}
\pi=\frac{S_{cercle}}{S_{carré}}=\frac{\text{Nombre d&rsquo;impacts dans le cercle}}{\text{Nombre total d&rsquo;impacts}}.
\end{equation*}

Répétez les étapes plusieurs fois ou augmentez votre armée pour obtenir une estimation plus précise de π.								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Figure 2: L'armée est arrivée et a lancé les premiers 10 000 tirs.</h2>				</div>
				</div>
					</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Figure 3: De gauche à droite : 100 000 tirs et 1 million de tirs.</h2>				</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									De manière similaire, on peut utiliser cette méthode pour estimer la surface du Faucon Millenium, un célèbre vaisseau spatial de la série Star Wars qui mesure 35 mètres de longueur et 25 mètres de largeur.								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Figure 4: Voici la photo réelle du vaisseau spatial et le plan.</h2>				</div>
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									<p>La méthodologie sera presque la même. Nous utilisons une simulation informatique où les stormtroopers tirent aléatoirement à la surface du vaisseau spatial. Chaque point où un « stormtrooper » touche la surface est enregistré et la surface totale est ensuite calculée en comptant le nombre total de points et en le comparant à la taille totale de la surface du vaisseau spatial. Cette méthode est très efficace car elle prend en compte les formes irrégulières de la surface du vaisseau spatial, ce qui rendrait difficile une estimation de surface plus traditionnelle. Cependant, malheureusement, cela conduira à la destruction totale du vaisseau spatial !</p><p>1. Placez l&rsquo;armée de stormtroopers dans un stand de tir fermé et immense.<br />2. Tracez un rectangle de 35 mètres sur 25 mètres pour représenter la surface du mur arrière et collez le Faucon Millennium dessus.<br />3. Ordonnez aux stormtroopers d&rsquo;ouvrir le feu.<br />4. Comptez le nombre de tirs qui atteignent la surface du Faucon Millennium.<br />5. Utilisez la proportion de tirs qui atteignent la surface du Faucon Millennium par rapport au nombre total de tirs pour estimer la surface du Faucon Millennium. Plus précisément, vous pouvez utiliser la formule suivante :</p><p>\begin{equation*}<br />\text{Surface du Faucon Millennium}=35\times 25\frac{\text{Nombre de tirs qui touchent le Faucon Millennium}}{\text{Nombre total de tirs}}.<br />\end{equation*}<br />6. Répétez ces étapes plusieurs fois ou augmentez le nombre de stormtroopers pour obtenir une estimation plus précise de la surface du Faucon Millennium.</p>								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Figure 5: De gauche à droite, avec 10 000, 100 000 et 1 million de tirs.</h2>				</div>
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									<p>La précision de la méthode de Monte Carlo pour estimer les aires dépend du nombre de tirs générés de manière aléatoire. Plus vous effectuez de tirs, plus votre estimation sera précise. </p><p>Cependant, il est important de noter que même si vous générez un grand nombre de tirs, vous ne pourrez jamais calculer la valeur exacte de l&rsquo;aire que vous considérez. Par exemple, avec 1 million de stormtroopers, vous pouvez obtenir une estimation de π avec une précision d&rsquo;environ 2 décimales. Pour l&rsquo;aire du Faucon Millenium, nous obtenons approximativement 400,855 m².</p>								</div>
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									<h2 data-elementor-setting-key="title" data-pen-placeholder="Écrivez ici..."> </h2><h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large elementor-inline-editing pen" style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 29px; font-style: normal; color: #414141;" data-elementor-setting-key="title" data-pen-placeholder="Écrivez ici...">L&rsquo;importance du Manque de Précision</h2><p>La méthode de Monte Carlo repose fortement sur la génération de nombres aléatoires pour simuler des événements aléatoires. C&rsquo;est là que le manque de précision des stormtroopers entre en jeu. Dans l&rsquo;exemple précédent, le manque de précision des stormtroopers dans le tir représente l&rsquo;aléatoire nécessaire pour que la méthode de Monte Carlo fonctionne de manière efficace (ici, ils tirent parfaitement mal). Sans cette aléa, la méthode ne serait pas en mesure d&rsquo;approximer les résultats de manière précise.</p><p>Laissez-moi vous expliquer ce concept en introduisant Han Solo, un tireur d&rsquo;élite hautement qualifié, dans la simulation. La distribution des tirs ne serait plus uniformément aléatoire, mais plutôt pondérée vers les zones où Han Solo vise. Plus précisément, si nous estimons sa précision de la même manière que nous l&rsquo;avons fait avec les stormtroopers, nous constatons qu&rsquo;il tire presque parfaitement bien.</p>								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Figure 6: Han solo tirant 1 million de fois.</h2>				</div>
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									<p>Peut-être que Chewbacca le dérange ou qu&rsquo;il a de la poussière dans l&rsquo;œil, et c&rsquo;est pourquoi son taux de précision n&rsquo;est pas de 100 % (c&rsquo;est ce qu&rsquo;il dit). Maintenant, à quel point est-il bon pour estimer π ? En utilisant la même formule<br />\begin{equation*}<br />\pi=\frac{\text{Nombre d&rsquo;impacts dans le cercle}}{\text{Nombre total d&rsquo;impacts}},<br />\end{equation*}<br />Il semble que π soit plus ou moins égal à 4 avec 1 million de tirs.</p><p>Cela met en évidence une considération importante lors de l&rsquo;utilisation de la méthode de Monte Carlo &#8211; la précision des résultats dépend fortement du caractère aléatoire de la simulation. L&rsquo;introduction de biais ou de distributions non uniformes peut grandement influencer l&rsquo;efficacité de la méthode. En termes simples, cela signifie que pour être précis, les nombres aléatoires générés doivent être véritablement aléatoires et ne pas suivre de schéma prévisible ou être précis.</p>								</div>
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									<h2 data-elementor-setting-key="title" data-pen-placeholder="Écrivez ici..."> </h2><h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large elementor-inline-editing pen" style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 29px; font-style: normal; color: #414141;" data-elementor-setting-key="title" data-pen-placeholder="Écrivez ici...">Generation de Nombres Aléatoires</h2><p>Générer des nombres aléatoires est une tâche fondamentale dans de nombreux domaines, allant de l&rsquo;informatique à la cryptographie et aux simulations. Bien que nous pensons souvent que le hasard est quelque chose qui se produit naturellement, comme le lancer d&rsquo;un dé ou le tirage au sort d&rsquo;une pièce de monnaie, de nombreux nombres aléatoires utilisés en informatique sont en réalité générés par le biais d&rsquo;algorithmes sophistiqués ou de phénomènes physiques.</p><p>Un des méthodes largement utilisées est le générateur de nombres pseudo-aléatoires, qui produit une séquence de nombres qui semble aléatoire, mais qui est en réalité calculée de manière déterministe à partir d&rsquo;une valeur initiale appelée « graine ». Bien qu&rsquo;ils ne soient pas véritablement aléatoires, les générateurs pseudo-aléatoires sont très efficaces et suffisamment imprévisibles pour répondre aux besoins pratiques. Cependant, ils peuvent être sujets à des périodicités et des corrélations dans les séquences produites, ce qui peut poser des risques de sécurité dans certaines applications. En utilisant l&rsquo;analogie de Star Wars, cela revient à prendre un tireur d&rsquo;élite impérial parfait qui suit un schéma de tir ; il vous suffit d&rsquo;ordonner le premier tir réussi et chaque tir suivant sera une fonction définie du précédent.</p>								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Figure 7: Un tireur d'élite impérial avec une partie de son schéma de tir.</h2>				</div>
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									<p>Maintenant, imaginez que vous êtes un espion rebelle et que vous souhaitez envoyer un message secret à votre base. Pour cela, vous avez besoin d&rsquo;un nombre aléatoire qui servira de clé de chiffrement. Vous pourriez utiliser un générateur de nombres pseudo-aléatoires pour en créer un, mais il y a toujours un risque que l&rsquo;Empire ait pu prédire la séquence de nombres que vous allez utiliser. Pour vous assurer que votre clé de chiffrement est vraiment aléatoire, vous pourriez utiliser un générateur de nombres quantiques.</p><p><br />Dans cet exemple, le générateur de nombres pseudo-aléatoires serait semblable à un soldat de l&rsquo;Empire qui suit un plan d&rsquo;attaque prédéfini et facilement prévisible, tout comme le sniper impérial. D&rsquo;un autre côté, le générateur de nombres quantiques serait semblable à un scientifique rebelle qui exploite les propriétés uniques des sabres laser pour trouver des solutions imprévisibles à chaque situation. Comme les nombres quantiques sont générés à partir de phénomènes quantiques imprévisibles tels que la polarisation, la phase ou la fréquence des photons, l&rsquo;Empire ne peut pas prédire la séquence de nombres que vous allez utiliser, rendant votre message secret beaucoup plus sûr. Ces générateurs produisent des nombres vraiment aléatoires et impossibles à reproduire. Bien que encore relativement nouveaux et coûteux, les générateurs de nombres quantiques offrent de grandes perspectives pour des applications nécessitant les plus hauts niveaux de sécurité et d&rsquo;imprévisibilité.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
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									<h2 data-elementor-setting-key="title" data-pen-placeholder="Écrivez ici..."> </h2><h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large elementor-inline-editing pen" style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 29px; font-style: normal; color: #414141;" data-elementor-setting-key="title" data-pen-placeholder="Écrivez ici...">La Polyvalence et la Puissance de la Méthode de Monte Carlo</h2><p>En résumé, la méthode de Monte Carlo est une technique mathématique polyvalente et puissante qui permet d&rsquo;approximer des résultats complexes difficiles à calculer précisément autrement. L&rsquo;utilisation de nombres aléatoires ou pseudo-aléatoires pour simuler des événements aléatoires et déterminer des résultats probabilistes en fait un outil efficace pour diverses applications, comme en témoignent les simulations des tirs des stormtroopers. Les applications de cette méthode vont au-delà de l&rsquo;estimation de constantes mathématiques et de l&rsquo;aire de formes irrégulières, pour inclure la prédiction des résultats d&rsquo;élections, la simulation de la croissance de la population et l&rsquo;estimation de la probabilité d&rsquo;obtenir un certain nombre lors d&rsquo;un jeu de dés.</p><p> La méthode de Monte Carlo est un outil précieux pour de nombreux domaines tels que la physique, l&rsquo;ingénierie et la finance, en faisant ainsi un élément essentiel de la boîte à outils du mathématicien et du statisticien.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large">Bibliographie</h2>				</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									<p>M. Kalos, P. Whitlock, Monte Carlo Methods, 2008.</p><p>D. P. Kroese, T. Taimre, Z.I. Botev, Handbook of Monte Carlo Methods, 2011.</p><p>D. P. Kroese, T. Brereton, T. Taimre, Z.I. Botev, Why the Monte Carlo method is so important today, 2014.</p><p>S. Weinzierl, Introduction to Monte Carlo methods, 2000.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
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								<span class="elementor-toggle-icon-opened"><i class="elementor-toggle-icon-opened fas fa-caret-up"></i></span>
													</span>
												<a class="elementor-toggle-title" tabindex="0">Estimation de pi par les Stormtroopers</a>
					</div>

					<div id="elementor-tab-content-1441" class="elementor-tab-content elementor-clearfix" data-tab="1" role="region" aria-labelledby="elementor-tab-title-1441">
<pre class="wp-block-code has-black-background-color has-background"><code class="language-python line-numbers" lang="python">
import random
import matplotlib.pyplot as plt

def estimate_pi(n):
    num_points_circle = 0
    num_points_total = 0
    circle_x, circle_y = [], []
    square_x, square_y = [], []

    # Loop for generating random points and estimating π
    for _ in range(n):
        x = random.uniform(-1, 1)
        y = random.uniform(-1, 1)
        distance = x**2 + y**2
        if distance <= 1:
            num_points_circle += 1
            circle_x.append(x)
            circle_y.append(y)
        else:
            square_x.append(x)
            square_y.append(y)
        num_points_total += 1

    # Plotting the points on a graph
    plt.figure(figsize=(5, 5))
    plt.scatter(circle_x, circle_y, color='blue', s=0.1)
    plt.scatter(square_x, square_y, color='red', s=0.1)
    plt.xlim(-1.1, 1.1)
    plt.ylim(-1.1, 1.1)
    plt.title("Estimation of π using the Monte Carlo method\nN = {}".format(n))
    plt.show()

    # Calculating and returning the estimated value of π
    return 4 * num_points_circle / num_points_total

print(estimate_pi(10000))


</code></pre>
</div>
				</div>
							<div class="elementor-toggle-item">
					<div id="elementor-tab-title-1442" class="elementor-tab-title" data-tab="2" role="button" aria-controls="elementor-tab-content-1442" aria-expanded="false">
												<span class="elementor-toggle-icon elementor-toggle-icon-left" aria-hidden="true">
															<span class="elementor-toggle-icon-closed"><i class="fas fa-caret-right"></i></span>
								<span class="elementor-toggle-icon-opened"><i class="elementor-toggle-icon-opened fas fa-caret-up"></i></span>
													</span>
												<a class="elementor-toggle-title" tabindex="0">Estimation du Faucon Millenium</a>
					</div>

					<div id="elementor-tab-content-1442" class="elementor-tab-content elementor-clearfix" data-tab="2" role="region" aria-labelledby="elementor-tab-title-1442">
<pre class="wp-block-code has-black-background-color has-background"><code class="language-python line-numbers" lang="python">

import cv2
import numpy as np
import random

# Load the image and convert it to grayscale
img = cv2.imread("/Users/.../falcon2.png", cv2.IMREAD_GRAYSCALE)

# Apply thresholding to get a binary image
ret, thresh = cv2.threshold(img, 127, 255, cv2.THRESH_BINARY)

# Invert the colors so that black becomes white and vice versa
thresh = cv2.bitwise_not(thresh)

# Find contours in the image
contours, hierarchy = cv2.findContours(thresh, cv2.RETR_EXTERNAL, cv2.CHAIN_APPROX_SIMPLE)

# Create a black image to draw the contours
contour_img = np.zeros((img.shape[0], img.shape[1], 3), np.uint8)

# Draw the contours in white on the black image
cv2.drawContours(contour_img, contours, -1, (255, 255, 255), 2)

# Get the size of the image in pixels
height, width = img.shape[:2]

# Retrieve the size of the image in pixels
size = img.shape[:2]

# Define the real dimensions of the Millennium Falcon
real_length = 35  # in meters
real_width = 25   # in meters

# Define the resolution of the image in pixels/meter
resolution = 144

# Calculate the total number of pixels of the ship's surface
total_surface_pixels = int(real_length * real_width * resolution**2)

# Number of random points to generate for the estimation
n = 1000000

# Number of points inside the black figure
num_points_inside = 0

# Generate random points in the image and count the number of points inside the black figure
for i in range(n):
    # Generate a random point in the image
    x = random.randint(0, width-1)
    y = random.randint(0, height-1)

    # Check if the point is inside the black figure
    if cv2.pointPolygonTest(contours[0], (x, y), False) == 1:
        num_points_inside += 1
        # Draw the point in blue
        cv2.circle(contour_img, (x, y), 1, (255, 0, 0), -1)
    else:
        # Draw the point in red
        cv2.circle(contour_img, (x, y), 1, (0, 0, 255), -1)

# Estimation of the area of the black figure using the Monte Carlo method
estimated_area = (num_points_inside / n) * (width * height)

# Display the image with points in blue and red
cv2.imshow('Image with points', contour_img)

# Wait for the user to press a key to close the window
cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()

# Display the estimated area of the black figure
print("Estimated area of the black figure:", estimated_area)


</code></pre>
</div>
				</div>
							<div class="elementor-toggle-item">
					<div id="elementor-tab-title-1443" class="elementor-tab-title" data-tab="3" role="button" aria-controls="elementor-tab-content-1443" aria-expanded="false">
												<span class="elementor-toggle-icon elementor-toggle-icon-left" aria-hidden="true">
															<span class="elementor-toggle-icon-closed"><i class="fas fa-caret-right"></i></span>
								<span class="elementor-toggle-icon-opened"><i class="elementor-toggle-icon-opened fas fa-caret-up"></i></span>
													</span>
												<a class="elementor-toggle-title" tabindex="0">Estimation de pi par Han Solo</a>
					</div>

					<div id="elementor-tab-content-1443" class="elementor-tab-content elementor-clearfix" data-tab="3" role="region" aria-labelledby="elementor-tab-title-1443">
<pre class="wp-block-code has-black-background-color has-background"><code class="language-python line-numbers" lang="python">


import random
import math
import matplotlib.pyplot as plt

num_shots = 1000000
circle_hits = 0
square_hits = 0
circle_x = []
circle_y = []
square_x = []
square_y = []

for i in range(num_shots):
    x = random.gauss(0, 0.05) # shots centered at the circle's center
    y = random.gauss(0, 0.05)
    distance = math.sqrt(x**2 + y**2)
    if distance <= 1:
        circle_hits += 1
        circle_x.append(x)
        circle_y.append(y)
    else:
        square_x.append(x)
        square_y.append(y)
    square_hits += 1
    if random.random() < 0.1: # 10% chance of shooting in the circle
        if distance <= 1:
            circle_hits -= 1
            circle_x.pop()
            circle_y.pop()
        else:
            circle_hits += 1
            circle_x.append(x)
            circle_y.append(y)
        square_hits -= 1

pi_estimation = 4 * circle_hits / square_hits
print("Estimation of pi:", pi_estimation)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))
ax.set_xlim([-1.2, 1.2])
ax.set_ylim([-1.2, 1.2])
ax.set_aspect('equal')
ax.scatter(square_x, square_y, color='red', s=1, label='Outside the circle')
ax.scatter(circle_x, circle_y, color='blue', s=1, label='Inside the circle')
circle = plt.Circle((0, 0), 1, color='black', fill=False)
ax.add_artist(circle)
ax.legend()
plt.show()



</code></pre>
</div>
				</div>
								</div>
						</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-6aa31a4 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="6aa31a4" data-element_type="section" data-e-type="section">
						<div class="elementor-container elementor-column-gap-default">
					<div class="elementor-column elementor-col-100 elementor-top-column elementor-element elementor-element-0208a9b" data-id="0208a9b" data-element_type="column" data-e-type="column">
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						<div class="elementor-element elementor-element-6d3ef80 elementor-widget elementor-widget-heading" data-id="6d3ef80" data-element_type="widget" data-e-type="widget" data-widget_type="heading.default">
				<div class="elementor-widget-container">
					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Pour trouver la surface du Faucon Millenium, nous avons utilisé l'image suivante.</h2>				</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-bd0f288 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="bd0f288" data-element_type="section" data-e-type="section">
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															<img loading="lazy" decoding="async" width="300" height="296" src="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/07/falcon2-300x296.png" class="attachment-medium size-medium wp-image-1994" alt="" srcset="https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/07/falcon2-300x296.png 300w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/07/falcon2-768x758.png 768w, https://theeventhorizons.com/wp-content/uploads/2023/07/falcon2.png 890w" sizes="(max-width: 300px) 100vw, 300px" />															</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				</div>
		<p>L’article <a href="https://theeventhorizons.com/fr/les-stormtroopers-sont-mauvais-en-tir-oui/">Les Stormtroopers sont mauvais en tir ? Oui.</a> est apparu en premier sur <a href="https://theeventhorizons.com/fr/home-francais">The Event Horizons</a>.</p>
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		<title>Toss a Coin to Your Witcher</title>
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		<pubDate>Sun, 23 Jul 2023 16:32:06 +0000</pubDate>
				<category><![CDATA[Probabilités/Statistiques]]></category>
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					<description><![CDATA[<p>Au cœur des terres mystérieuses de l'univers de The Witcher, où les épées se croisent et les sortilèges se déchaînent, une leçon précieuse émerge des méandres de la probabilité et du destin. Inspirée par une rencontre fortuite dans les brumes d'un bar de casino, cette leçon nous invite à plonger dans les arcanes de la loi des grands nombres, tandis que la ruine du joueur se profile telle une ombre menaçante. Préparez-vous à être transportés dans un récit envoûtant, où les dés sont lancés et les jeux de hasard jouent leur symphonie captivante.</p>
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									<p style="text-align: center;"><strong>Au cœur des terres mystérieuses de l&rsquo;univers de The Witcher, où les épées se croisent et les sortilèges se déchaînent, une leçon précieuse émerge des méandres de la probabilité et du destin. Inspirée par une rencontre fortuite dans les brumes d&rsquo;un bar de casino, cette leçon nous invite à plonger dans les arcanes de la loi des grands nombres, tandis que la ruine du joueur se profile telle une ombre menaçante. Préparez-vous à être transportés dans un récit envoûtant, où les dés sont lancés et les jeux de hasard jouent leur symphonie captivante.</strong></p>								</div>
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&nbsp;
<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large elementor-inline-editing pen" style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 29px; font-style: normal; color: #414141;" data-elementor-setting-key="title" data-pen-placeholder="Écrivez ici...">L&rsquo;Étranger et le Défi du Destin</h2>

Lors d&rsquo;une soirée tumultueuse, un sorceleur solitaire nommé Geralt de Riv arpente les rues sombres d&rsquo;une ville en quête de répit. Les échos de rires et de mélodies envoûtantes le guident jusqu&rsquo;à un bar mystérieux, le Casino du Destin. Poussé par une curiosité irrépressible, il franchit les portes ornées et pénètre dans un monde où le sort est scellé par un simple jet de dés.  Parmi la foule animée du bar, le sorceleur se retrouve attiré par un inconnu énigmatique. Le regard pétillant de malice, l&rsquo;inconnu sort une pièce étincelante de sa besace. Son sourire en coin trahit une intention claire : il souhaite défier le sorceleur à un petit jeu de table. Intrigué, Geralt accepte l&rsquo;invitation, se préparant à affronter le destin lui-même.								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Credit: Netflix</h2>				</div>
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									<p>L&rsquo;inconnu, d&rsquo;une voix enigmatique, expose les règles du jeu. Chacun de nous allons miser nos fortunes respectives au jeu, on supposera que Geralt et l&rsquo;étranger possèdent tout deux 1000 po (pièce d&rsquo;or) pour commencer. À chaque manche, le destin oscille entre les protagonistes, déterminant ainsi leur fortune sur un lancer de pièce. Chaque victoire accorde un gain de 1, tandis que chaque défaite s&rsquo;accompagne d&rsquo;une perte équivalente. Cette danse ensorcelante se poursuit jusqu&rsquo;à ce que l&rsquo;un des joueurs soit irrémédiablement ruiné, condamné à affronter les conséquences de ses choix.</p><p>Traduisons désormais cette situation en termes probabilistes, où la « destinée » est représentée par une probabilité p, , une valeur comprise entre 0 et 1; une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, symbolisées par \(X_i\) ou i est la i-ème manche, , joue un rôle crucial dans le déroulement du jeu. Chaque variable \(X_i\) prend la valeur 1 avec une probabilité p, , signifiant une victoire, et la valeur -1 avec une probabilité 1-p, signifiant une défaite. En terme mathématique, cela ce note:</p><p>\begin{align*}<br />\mathbb{P}(X_i=1)=p,\quad \mathbb{P}(X_i=-1)=1-p.<br />\end{align*}<br />On notera aussi la fortune du sorceleur à la manche n qui est égale à la somme de sa fortune initiale et du résultat de ses gains et défaites à chaque manche par <br />\begin{align*}<br />F_n = 1000 + \sum_{i=1}^n X_i.<br />\end{align*}<br />Parallèlement, la fortune de son adversaire, intimement liée à la sienne, évolue selon des mécanismes similaires, mais avec une fortune à chaque manche de 2000-\(F_n\).</p>								</div>
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									<h2 data-elementor-setting-key="title" data-pen-placeholder="Écrivez ici..."></h2>
<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large elementor-inline-editing pen" style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 29px; font-style: normal; color: #414141;" data-elementor-setting-key="title" data-pen-placeholder="Écrivez ici...">Les probabilités voilées : La quête de Geralt contre le jeu truqué</h2>
<p>Les règles de ce jeu sont sournoises, et Geralt sent que quelque chose ne tourne pas rond. Il soupçonne le vieillard de vouloir l&rsquo;arnaquer. Plongé dans une situation énigmatique, Geralt se retrouve confronté à un jeu de pièce de monnaie aux enjeux captivants. Les issues possibles sont simples : Pile ou Face, avec une probabilité égale de 50/50 si la pièce est équilibré. Cependant, il sait aussi que la pièce peut être biaisée, c&rsquo;est se qui l&rsquo;inquiète, avec des probabilités qui prennent des valeurs bien différentes, telles que 0, \(1/\pi\), ou&nbsp;1/100ème. Le mystère s&rsquo;intensifie d&rsquo;autant plus que la véritable probabilité demeure inconnue.</p>
<p>Pour résoudre ce mystère, Geralt mobilise toutes ses compétences et ressources disponibles quitte à perdre de l&rsquo;argent. Il se concentre sur les six premiers lancers de la pièce, qui donnent les résultats Pile, Face, Pile, Face, Face, Face (PFPFFF). À première vue, ces résultats semblent indiquer un déséquilibre. Cependant, Geralt entreprend une analyse approfondie des probabilités associées à chaque configuration possible. Il se souvient qu&rsquo;un vieil ami Jacques Bernouilli lui avait soumis une épreuve similaire. C&rsquo;était théoriquement une expérience aléatoire comportant deux issus possibles, le succès ou l&rsquo;échec avec une certaine probabilité. Exactement ce a quoi il fait face aujourd&rsquo;hui.</p>
<p>Jacques lui conta que si la pièce était équilibrée, la probabilité d&rsquo;obtenir Pile en premier est de 1/2, tout comme celle d&rsquo;obtenir Face en premier. En examinant les différentes combinaisons possibles (PF, PP, FF, FP), il constate que la probabilité d&rsquo;obtenir Pile suivi de Face est de 1/4, tout comme pour les autres combinaisons. Cela s&rsquo;explique par le fait qu&rsquo;il y a quatre possibilités équiprobables avec une pièce équilibrée. Geralt se rappelle bien du raisonnement et prend conscience de l&rsquo;importance des détails dans cette quête. Il réalise également que, pour trois lancers, il existe huit configurations possibles. Parmi celles-ci, il y a une chance sur huit d&rsquo;obtenir Pile, Face, Pile (PFP). Geralt se rend rapidement compte de l&rsquo;ampleur des calculs impliqués dans cette analyse. Plus le nombre de lancers augmente, plus la probabilité d&rsquo;obtenir une configuration précise devient faible. Par exemple, la probabilité d&rsquo;obtenir la configuration Pile, Face, Pile, Face, Face, Face (PFPFFF) est de \(1/2^6\),  une probabilité relativement faible.</p>
<p>Cependant, l&rsquo;objectif de Geralt ne se limite pas à déterminer des configurations spécifiques. Son véritable intérêt réside dans la proportion de Pile et de Face présente dans chaque configuration. En ces termes, le sorcelleur comprend qu&rsquo;il fait fasse à une succession de n épreuves de Bernoulli indépendantes sans biais ou la variable aléatoire \(S_n\),  qui compte le nombre de succès suit une loi binomiale c&rsquo;est à dire que la probabilité d&rsquo;avoir k « Pile » dans la somme vaut:</p>
<p>\begin{equation*}<br>\mathbb{P}(S_n=k)=\binom{n}{k}\frac{1}{2^n}.<br>\end{equation*}</p>
<p>On rappelle l&rsquo;égalité suivante:</p>
<p>$$\binom{n}{k}=\frac{n\times(n-1)\times\cdots\times 2\times 1}{(k\times(k-1)\times\cdots\times 2\times 1)(n-k)\times(n-k-1)\times \cdots\times 2\times 1}.$$</p>
<p>Il pressent que si la pièce est lancée un très grand nombre de fois, la fréquence d&rsquo;apparition de Pile ou de Face se révélera avec une grande précision. Son intuition s&rsquo;avère juste, et les mathématiciens appellent cela la « loi des grands nombres ».</p>
<p>En résumé, la loi des grands nombres stipule qu&rsquo;une pièce de monnaie équilibrée, lancée un nombre infini de fois, donnera Pile et Face avec une fréquence équivalente. De la  même manière si  la pièce est biaisée, le sorceleur verra apparaître une proportion de Pile ou de Face différente de 50/50.</p>								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Simulation des lancers de pièce. Les graphiques illustrent comment la moyenne des faces "Pile" tend à se rapprocher de l'espérance théorique à mesure que le nombre de lancers de pièce augmente (10, 100, 1000, 10000 et 100000), même avec une pièce biaisée. Ainsi, nous pouvons clairement observer qu'à partir de 10000 lancers, la courbe bleue coïncide presque avec la moyenne théorique.</h2>				</div>
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		</div>
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									Geralt est donc conscient de cette vérité mathématique, mais il sait également que l&rsquo;infini est bien trop lointain à atteindre, surtout dans le cadre du jeu proposé par l&rsquo;étranger ou il peut finir ruiné très rapidement.								</div>
				</div>
					</div>
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									<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large elementor-inline-editing pen" style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 29px; font-style: normal; color: #414141;" data-elementor-setting-key="title" data-pen-placeholder="Écrivez ici...">La Puissance de la Concentration : le Sorceleur Démêle le Mystère de la Pièce Biaisée</h2>
Dans le cadre du jeu proposé par l&rsquo;étranger, il n&rsquo;a pas la possibilité de lancer la pièce un nombre infini de fois pour vérifier la fréquence des résultats; il se rend compte qu&rsquo;il doit exploiter au maximum ses capacités de concentration pour démêler le mystère de la pièce biaisée. En quête d&rsquo;un avantage supplémentaire, il décide de boire une potion de concentration, qui stimule son esprit et sa clairvoyance.								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Credit: Netflix</h2>				</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									Guidé par l&rsquo;effet de la potion, Geralt se plonge dans une analyse approfondie du lancer de pièce.  Il utilise la notation binaire où Pile est représenté par 1  et Face par 0. Donc, \(S_n\) représente le nombre de Pile qu&rsquo;il y a dans une sequence. Dans le cas ou Géralt pense que la pièce est équilibrée, on a que la probabilité au i-ème lancer vaille Pile (ou +1) est de 1/2, pareil pour Face (ou 0) et cela s&rsquo;écrit:

\begin{equation*}
\mathbb{P}(X_i=+1)=\mathbb{P}(X_i=0)=\frac{1}{2}.
\end{equation*}
Donc, \(\mathbb{E}(S_n) = \frac{n}{2}\) car s&rsquo;il y a autant de +1 que de 0 dans les résultats, la moyenne théorique doit être de \(\frac{n}{2}\).

Il réalise que pour obtenir une estimation fiable de la proportion de Pile et de Face avec un nombre limité de lancers, il doit recourir à des outils statistiques développés tels que l&rsquo;inégalité de concentration Gaussienne. Cette inégalité, également connue sous le nom d&rsquo;inégalité de Hoeffding, est un résultat fondamental en probabilité et en statistiques qui fonctionne bien dans ce cas précis. Elle fournit une estimation de la probabilité qu&rsquo;une variable aléatoire, ici les résultats du lancer de la pièce, s&rsquo;éloigne significativement de sa moyenne.  Elle fournit des bornes sur la probabilité d&rsquo;observation d&rsquo;événements rares ou extrêmes. En langage mathématique cela s&rsquo;écrit, pour toutes déviations u, on a

\begin{equation}\label{Gauss}
\mathbb{P}\left(\left|S_n-\mathbb{E}(S_n)\right|\geq u\right)\leq 2e^{-\frac{2u^2}{n}}
\end{equation}
ou \(S_n = X_1 + \cdots + X_n\) est le résultat de n lancers de pièce et \(\mathbb{E}(S_n)\) est son espérance (en quelque sorte sa moyenne théorique). L&rsquo;utilisation du terme « concentration Gaussienne » dans le contexte de cette inégalité fait référence à la capacité des variables aléatoires à se regrouper autour de leur moyenne, en suivant une distribution proche de la distribution normale ou Gaussienne ou courbe en cloche. Elle indique que la probabilité d&rsquo;observations éloignées de la moyenne diminue rapidement (très très rapidement) à mesure que l&rsquo;écart-type augmente								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Credit: Netflix</h2>				</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Histogramme représentant la fréquence d'apparition des Piles sur 1000 lancers avec sa courbe théorique en cloche.</h2>				</div>
				</div>
					</div>
		</div>
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									<p>Pour mesurer expérimentalement cette fréquence d&rsquo;apparition, il sait qu&rsquo;il doit compter le nombre de Pile +1 dans les n lancers, le diviser par le nombre de lancer total, et estimer sa probabilité de déviation d&rsquo;un certain pourcentage u par rapport à la valeur \(\frac{1}{2}\). Cela s&rsquo;écrit grâce à la formule précedente, pour toutes déviations <span style="font-size: 14px; color: var( --e-global-color-text );">u:</span></p><p>\begin{equation}\label{Gauss2}<br />\mathbb{P}\left(\left|\frac{S_n}{n}-\frac{1}{2}\right| &gt; u\right) \leq 2e^{-2nu^2}.<br />\end{equation}<br />Si son estimation dépasse valeur du membre de droite alors il fait face à une pièce biaisée. Ainsi Geralt, dispose d&rsquo;un moyen simple de détecter un éventuel biais dans la pièce de monnaie.</p><p>Tout à coup, le temps semble se figer. Le sorceleur entre dans une transe profonde qui lui permet de lancer mentalement la pièce et d&rsquo;effectuer tous les calculs nécessaires grâce à la formule précédente.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Credit: Netflix</h2>				</div>
				</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
									Son premier calcul consiste à estimer la probabilité que, sur 10 lancers d&rsquo;une pièce équilibrée, le pourcentage de Piles soit supérieur ou inférieur de \(20\%\)  par rapport au nombre de Faces. Il trouve :

\begin{equation*}
\mathbb{P}\left(\left|\frac{S_{10}}{10}-\frac{1}{2}\right|&gt;0.2\right)\leq 2e^{- 20\times 0.04}\approx 0.89.
\end{equation*}
Sur la figure suivante, cela consiste à dire que la somme de l&rsquo;aire sous la courbe rouge entre 7 et 10, et entre 0 et 3, est plus petite que 0.89.								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Histogramme représentant la fréquence d'apparition des Piles sur 10 lancers avec sa courbe théorique en cloche.</h2>				</div>
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		</section>
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									Cependant, ce résultat ne semble pas très intéressant en soi car la borne supérieure de probabilité, 0.89, , est très proche de 1. Geralt se demande donc ce qui peut se passer. Peut-être n&rsquo;a-t-il tout simplement pas lancé suffisamment de pièces? Pour explorer cette possibilité, il décide de continuer son  exercice de pensée et de lancer la pièce non seulement  10 fois, mais également 20, 30, 40, 100, 500, 1000, et même 10,000 fois (Voir les exemples en dessous).								</div>
				</div>
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		</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Histogramme représentant la fréquence d'apparition des Piles sur 100 et 500 lancers avec sa courbe théorique en cloche.</h2>				</div>
				</div>
					</div>
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		</section>
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				<div class="elementor-widget-container">
									Les résultats approximatifs de ces calculs sont présentés dans le tableau et le graphe suivants:								</div>
				</div>
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					</div>
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				<div class="elementor-widget-container">
					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Le tableau présente les résultats obtenus par Geralt lors de ses calculs pour différentes quantités de lancers de pièce de monnaie. Les valeurs dans les cases correspondent aux probabilités estimées que la fréquence de Piles diffère de \(\frac{1}{2}\) d'un certain pourcentage (la déviation) en fonction du nombre de pièces.</h2>				</div>
				</div>
					</div>
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					</div>
		</section>
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				<div class="elementor-widget-container">
					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Ce graphe représente l'évolution de la concentration Gaussienne en fonction de la déviation et du nombre de pièces lancées.</h2>				</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				<section class="elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-4f6fdba elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default" data-id="4f6fdba" data-element_type="section" data-e-type="section">
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									<p>En observant les données du tableau et l&rsquo;évolution des courbes dans le graphe, on peut tirer les conclusions suivantes:</p><p><span style="color: var( --e-global-color-text ); font-size: 14px;">•</span><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );"> Plus le nombre de lancers de pièce augmente, plus les probabilités de déviation diminuent. Cela signifie que plus Geralt lance de pièces, plus il peut estimer avec précision si la pièce est biaisée ou non.</span></p><p><span style="color: var( --e-global-color-text ); font-size: 14px;">•</span><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );"> Pour un petit nombre de lancers (10 ou 20), les probabilités de déviation restent relativement élevées. Par exemple, pour 10 lancers, la probabilité d&rsquo;une déviation de \(20\%\) est de 0.89, ce qui indique une possibilité considérable de biais. Cependant, pour 20 lancers, cette probabilité diminue à 0.40, ce qui suggère une réduction de l&rsquo;incertitude.</span></p><p><span style="color: var( --e-global-color-text ); font-size: 14px;">•</span><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );"> À mesure que le nombre de lancers augmente davantage (30, 40, 100, 500, 1000), les probabilités de déviation diminuent drastiquement. Par exemple, pour 1000 lancers, la probabilité d&rsquo;une déviation de \(20\%\) est extrêmement faible, de l&rsquo;ordre de \(3.6 \times 10^{-35}\), indiquant une grande confiance dans le fait que la pièce est équilibrée.</span></p><p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">En résumé, le tableau démontre que plus Geralt effectue de lancers de pièce, plus il peut affiner son estimation de la fréquence des Piles et déterminer avec une plus grande certitude si la pièce est biaisée ou non. Les probabilités de déviation diminuent rapidement à mesure que le nombre de lancers augmente, ce qui renforce la fiabilité de la méthode de Geralt pour détecter les pièces biaisées.</span></p><p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Grâce à sa potion de concentration et à sa connaissance des principes probabilistes, le sorceleur, Geralt, ajuste sa stratégie de jeu et entre pleinement dans le jeu proposé par l&rsquo;étranger. Il lance la pièce fournie à 500 reprises et obtient une séquence de résultats où le nombre de Piles observé est de 286, soit environ \(7\%\) de plus que le nombre attendu. Voici la séquence:</span></p><p>\begin{align*}<br />&amp;0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 11 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1111111100011 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 \\<br />&amp;1111 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 10 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 10 0 0 1 1 1 0 01 1 0 0 1\\<br />&amp;1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 11 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 10 0 0 0 11 1 1 0 0 1 0 \\<br />&amp; 0 1 1 1 0 1 1 0 10 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 10 0 1 1 1 0 1 1 111 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 10 1 0 1 0 1 1 0 1 1 10 \\<br />&amp; 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 00 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 11 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 01 0 1 10 1 0 0 1 \\<br />&amp; 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1111111 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 01 0 1 0 1 1 \\<br />&amp;1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1111 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 00 0 1 1 10 1 0 \\<br />&amp; 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0<br />\end{align*}</p><p>En appliquant ces calculs, Geralt estime que la probabilité d&rsquo;obtenir une telle déviation est d&rsquo;environ 0,01 (ce qui est très faible). Il réalise alors qu&rsquo;il est confronté à une arnaque et demande à recommencer le jeu en utilisant une autre pièce, car celle fournie est biaisée.</p><p>Il se tourne vers un croupier du casino pour obtenir une pièce officielle et équilibrée, afin de poursuivre le jeu de manière juste et équitable.</p>								</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Credit: Netflix</h2>				</div>
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		</div>
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									<h2 data-elementor-setting-key="title" data-pen-placeholder="Écrivez ici..."> </h2><h2 style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 29px; font-style: normal; color: #414141;" data-elementor-setting-key="title" data-pen-placeholder="Écrivez ici...">L&rsquo;Intrigue de la Ruine du Joueur: La Probabilité de Tout Perdre</h2><p>Le jeu est donc équilibré, chaque joueur a donc autant de chance de gagner l&rsquo;un que l&rsquo;autre. Le sorceleur s&rsquo;intéresse donc à la probabilité que l&rsquo;inconnu soit ruiné avant lui c&rsquo;est à dire que sa fortune finale \(F_{\text{Inconnu}}\) atteigne 0 avant 2000. En terme mathématique cette probabilité s&rsquo;écrit:</p><p>\begin{align*}<br />\mathbb{P}_{Inconnu}(1000)=\mathbb{P}_{1000}\left(F\text{ atteint } 0 \text{ avant } 2000\right).<br />\end{align*}</p><p><span style="font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400;">Cela peut aussi se réécrire avec ce que l&rsquo;on appelle des temps d&rsquo;arrêts. Ce sont des temps aléatoires qui peuvent être déterminés à partir de l&rsquo;information disponible sur le processus jusqu&rsquo;à cet instant. Sa valeur indique le moment où une certaine condition est satisfaite ou une certaine quantité est atteinte. Le temps d&rsquo;arrêt peut dépendre des réalisations passées du processus, mais il ne peut pas dépendre de l&rsquo;avenir. Dans notre cas, cela peut être le temps (que l&rsquo;on a appelé manche dans notre cas) que l&rsquo;on note \(T_0\) ou la fortune de l&rsquo;inconnu atteint 0, ou le temps \(T_{2000}\) ou elle atteint 2000. Autrement dit c&rsquo;est le plus petit temps n tel que \(F_n\) soit nulle ou vaille 2000:</span></p><p>\begin{align*}T_0=\inf\{n\geq 0,\quad F_n =0\}\quad \text{ et } \quad T_{2000}=\inf\{n\geq 0,\quad F_n =2000\}.\end{align*}</p><p>Il est assez clair, que plus longtemps on joue plus on a de chance que le jeu s&rsquo;arrête c&rsquo;est à dire qu&rsquo;un des deux joueurs est ruiné. Ainsi on peut écrire que la probabilité que l&rsquo;étranger perde tout son or avant le sorceleur comme la probabilité que le temps d&rsquo;arrêt \(T_0\) soit plus petite que \(T_{2000}\):</p><p>\begin{align*}\mathbb{P}_{Inconnu}(1000)=\mathbb{P}_{1000}\left(T_0&lt;T_{2000}\right).\end{align*}</p><p>Aussi, il est important de noter que la fortune de l&rsquo;étranger peut atteindre tous les « états » possibles (ou sa fortune peut valoir n&rsquo;importe quel nombre entre 0 et 2000), nous allons noter cette valeur k. Ainsi la probabilité qu&rsquo;en ayant une fortune de valeur k, il atteigne 0 avant 2000 est</p><p>\begin{align*}\mathbb{P}_{Inconnu}(k)=\mathbb{P}_{k}\left(T_0&lt;T_{2000}\right).\end{align*}</p><p>Cette probabilité dépend seulement de la valeur de fortune à la manche précédente. En effet, comme on joue seulement une pièce d&rsquo;or à chaque manche, chacun peut gagner ou perdre qu&rsquo;un seul po et pas 4 d&rsquo;un coup par exemple. Sans rentrer dans les détails et en gardant toutes généralités, cela signifie que la probabilité précédente vaut:<br />\begin{align*}<br />\mathbb{P}_{Inconnu}(k)=p\mathbb{P}_{Inconnu}(k+1)+(1-p)\mathbb{P}_{Inconnu}(k-1).<br />\end{align*}<br />Or la pièce est équilibrée donc cela s&rsquo;écrit plutôt comme ça:<br />\begin{align*}<br />\mathbb{P}_{Inconnu}(k)=\frac{1}{2}\mathbb{P}_{Inconnu}(k+1)+\frac{1}{2}\mathbb{P}_{Inconnu}(k-1).<br />\end{align*}<br />Un oeil averti saura résoudre cette équation facilement et donnera une relation explicite de la probabilité qui nous intéresse<br />\begin{align*}<br />\mathbb{P}_{Inconnu}(k)=1-\frac{k}{2000}.<br />\end{align*}<br />Donc, si l&rsquo;inconnu à une fortune de 1000, la probabilité qu&rsquo;il atteigne 0 avant le sorceleur est de:<br />\begin{align*}<br />\mathbb{P}_{Inconnu}(1000)=1-\frac{1000}{2000}=\frac{1}{2}.<br />\end{align*}<br />Par une méthode analogue, on peut aussi déterminer le temps moyen d&rsquo;atteinte de 0 avant 2000, noté \(\mathbb{E}_k(T)\), et vaut<br />\begin{align*}<br />\mathbb{E}_k(T)=k(2000-k).<br />\end{align*}<br />Donc, si \(k=1000\),  il faudra jouer en moyenne un million de manches pour qu&rsquo;un des deux atteigne \(0\). L&rsquo;homme à capuche nomme donc ce concept intrigant : la ruine du joueur.</p>								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Simulation de la ruine du joueur où Geralt gagne après environ 600 000 manches.</h2>				</div>
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Il explique que malgré la loi des grands nombres, où les résultats tendent vers la probabilité théorique, le joueur est toujours confronté au risque de perdre tout ce qu&rsquo;il possède. La ruine du joueur, telle une créature insaisissable, rôde dans l&rsquo;ombre, prête à fondre sur ceux qui succombent à l&rsquo;appel du hasard sans discernement.								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Credit: Netflix</h2>				</div>
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									<h2 data-elementor-setting-key="title" data-pen-placeholder="Écrivez ici..."></h2>
<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large elementor-inline-editing pen" style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 29px; font-style: normal; color: #414141;" data-elementor-setting-key="title" data-pen-placeholder="Écrivez ici...">Le Secret du Casino : Biais, Tromperie et Probabilités Manipulées</h2>
Après une bataille acharnée, le sorceleur triomphe de son adversaire avec une grâce inégalée. Le visage masqué de l&rsquo;étranger se dévoile alors, dévoilant un regard rempli d&rsquo;admiration mêlée de surprise. C&rsquo;est avec une voix tremblante qu&rsquo;il révèle sa véritable identité, celle du puissant propriétaire du casino. Le sorceleur reste interloqué, réalisant que la fortune de cet homme dépasse de loin toutes les prédictions qui auraient pu être faites.								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Credit: Netflix</h2>				</div>
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									 Dans un geste de générosité inattendue, le propriétaire du casino décide de partager certains de ses secrets avec Geralt dans une salle annexe loin des oreilles indiscrètes. Il lui confie que, grâce à sa richesse colossale, sa probabilité de perdre est infime, lui permettant ainsi de persister et de prospérer dans ses entreprises. Il précise qu&rsquo;en nommant les deux fortunes initiales par  \(F_{Geralt}\) et \(F_{Casino}\), il obtient l&rsquo;équation suivante:

\begin{align*}

\mathbb{P}_{Casino}(k)=1-\frac{k}{F_{Geralt}+F_{Casino}}\quad\text{et}\quad \mathbb{E}_k(T)=k(F_{Geralt}+F_{Casino}-k).

\end{align*}

Rien qu&rsquo;en ayant 100 fois plus d&rsquo;argent initial que Geralt, le casino perd sa fortune avec une probabilité faible qui vaut  

\begin{align*}

\mathbb{P}_{Casino}(100\times F_{Geralt})=1-\frac{100\times F_{Geralt}}{F_{Geralt}+100\times F_{Geralt}}=1-\frac{100}{101}=0.0099.

\end{align*}								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Simulation de la ruine du joueur lorsque le casino a 100 fois plus d'argent que Geralt.</h2>				</div>
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									Mais le secret le plus précieux est révélé dans un murmure à peine audible. L&rsquo;étranger admet avoir joué avec des pièces soigneusement biaisées en sa faveur. Un sourire en coin se dessine sur son visage alors qu&rsquo;il dévoile cette vérité troublante. Cette tromperie subtile lui a permis d&rsquo;augmenter ses gains de manière spectaculaire et de conserver son emprise sur les âmes joueuses qui fréquentent son établissement. Il lui rappelle donc que selon le biais de la pièce, sa probabilité de perdre avec pour fortune initiale k est de 
\begin{align*}
\mathbb{P}_{Casino}(k)=\frac{\left(\frac{1-p}{p}\right)^{F_{Casino}+F_{Geralt}}-\left(\frac{1-p}{p}\right)^{k}}{\left(\frac{1-p}{p}\right)^{F_{Casino}+F_{Geralt}}-1}
\end{align*}
Ainsi, si p est très proche de 1, cette probabilité est très faible. En outre, en observant le croquis fourni par le maître des lieux, Geralt réalise rapidement qu&rsquo;il serait perdant même avec une pièce légèrement biaisée.								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Simulation de la ruine du joueur avec une pièce biaisée (\(p=0.49\)).</h2>				</div>
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									 Une aura d&rsquo;intrigue flotte dans l&rsquo;air, alors que Geralt assimile ces informations inattendues. Il réalise qu&rsquo;il vient de démasquer un adversaire bien plus retors qu&rsquo;il ne l&rsquo;aurait imaginé. Mais, armé de sa sagesse et de son expérience, le sorceleur se prépare déjà à affronter les nouveaux défis qui se dressent devant lui. Une nouvelle quête débute, où le destin des pièces truquées et des joueurs inconscients se croisera avec celui du sorceleur, dans une danse complexe où les enjeux sont plus élevés que jamais.
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									<h2 data-elementor-setting-key="title" data-pen-placeholder="Écrivez ici..."></h2>
<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large elementor-inline-editing pen" style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 29px; font-style: normal; color: #414141;" data-elementor-setting-key="title" data-pen-placeholder="Écrivez ici...">La Manipulation des Lancers de Pièce</h2>
La puissance de la potion de concentration se dissipe, et Geralt sort de sa transe. C&rsquo;est à cet instant que les paroles du célèbre magicien Persi Diaconis résonnent dans l&rsquo;esprit du sorceleur.								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Credit: Netflix</h2>				</div>
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									<p>La potion de précision qu&rsquo;il détient est une création unique en son genre. Une seule gorgée de cette potion élève ses capacités à un niveau extraordinaire, lui conférant une maîtrise totale du lancer de pièce. Tel une machine, Geralt contrôle chaque aspect du lancer : les conditions initiales, le nombre de rotations effectuées dans les airs, et même le côté qui sera révélé lorsque la pièce retombera. Sa précision dans la manipulation de ces paramètres est stupéfiante, remettant en question l&rsquo;idée selon laquelle le jeu du lancer de pièce serait un simple processus aléatoire.</p><p>Cette démonstration spectaculaire de maîtrise illustre parfaitement les découvertes de l&rsquo;étude menée par Joe Keller dans notre réalité. En effet, cette étude révèle que le lancer de pièce, bien qu&rsquo;il puisse sembler aléatoire, est en réalité régi par les lois mécaniques. Lorsqu&rsquo;une pièce est lancée avec une vitesse initiale élevée et une forte rotation, elle a une probabilité d&rsquo;atterrir du même côté que celui où elle a commencé, dans près de la moitié des cas. Cependant, si l&rsquo;on prend en compte la précession, c&rsquo;est-à-dire le changement de l&rsquo;axe de rotation de la pièce pendant son vol, le résultat peut différer. Si l&rsquo;angle entre le moment angulaire et la normale de la pièce est inférieur à 45 degrés, la pièce ne se retournera jamais et retombera toujours du même côté.</p><p><span style="font-size: 15px; color: var( --e-global-color-text );">Grâce à sa potion de précision, Geralt met en lumière la possibilité de manipuler les lancers de pièce de manière contrôlée, créant ainsi l&rsquo;illusion d&rsquo;un jeu aléatoire tout en étant conscient que les résultats sont en réalité déterminés par des facteurs mécaniques. au cœur de cette manipulation se trouve un élément crucial : la main qui lance la pièce ne la tient pas toujours du même côté, jonglant entre face et pile. C&rsquo;est bien la randomisation inconsciente effectuée par la personne lançant la pièce, lorsqu&rsquo;elle la place sur son pouce avant de lui donner une légère impulsion initiale, qui uniformise les probabilités d&rsquo;obtenir face ou pile. Ainsi, le résultat du lancer tend vers l&rsquo;égalité.</span></p>								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Credit: Netflix</h2>				</div>
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									<p> Toutefois, pour ceux qui aspirent à une légère avance, un entraînement assidu au lancer de précision peut leur permettre de maîtriser cet art subtil et d&rsquo;amener la pièce à atterrir selon leurs désirs. Mais dans leur ingéniosité, les jeux de hasard introduisent une autre composante aléatoire : un autre joueur doit crier « Pile » ou « Face » au moment précis où la pièce virevolte dans les airs, échappant ainsi à toute prédiction.</p>
<p>Dans cette romance envoûtante, nous pouvons ainsi apprécier l&rsquo;importance de cet équilibre entre précision et aléatoire. Geralt de Riv, malgré sa maîtrise extraordinaire du lancer de pièce grâce à sa potion de précision, réalise que la véritable essence du jeu réside dans cette randomisation inconsciente, qui assure une équité des probabilités. Le lancer de pièce demeure un jeu fascinant où l&rsquo;incertitude et la magie de l&rsquo;instant se mêlent harmonieusement, éveillant en chacun une curiosité teintée de mystère.</p>								</div>
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									<h2 data-elementor-setting-key="title" data-pen-placeholder="Écrivez ici..."> </h2><h2 class="elementor-heading-title elementor-size-large elementor-inline-editing pen" style="font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-family: 'Roboto Serif', sans-serif; font-size: 29px; font-style: normal; color: #414141;" data-elementor-setting-key="title" data-pen-placeholder="Écrivez ici...">Révélations du Lancer de Pièce : L&rsquo;Intuition de Geralt</h2><p>Dans les sombres méandres des jeux de hasard, où le sort des âmes joueuses se décide en un simple lancer de pièce, Geralt de Riv, le légendaire sorceleur, a dévoilé une vérité troublante. Il met en évidence l&rsquo;importance des probabilités et des outils statistiques pour comprendre et analyser les situations aléatoires. Malgré les apparences, Geralt se rend compte que le jeu de la pièce de monnaie est en réalité un jeu de probabilités et de chances. Grâce à son intelligence et à sa potion de concentration, il utilise des concepts tels que la loi des grands nombres et l&rsquo;inégalité de concentration Gaussienne pour évaluer les probabilités et les risques associés aux lancers de pièce. </p><p>Bien qu&rsquo;il ne puisse pas lancer la pièce un nombre infini de fois, il parvient à obtenir des estimations fiables de la proportion de Pile et de Face en utilisant des résultats probabilistes et statistiques. La quête de Geralt souligne également l&rsquo;importance de la prudence et de la connaissance de soi dans les jeux de hasard. En étant conscient des probabilités et des risques, Geralt prend des décisions éclairées et minimise les conséquences de ses choix.</p><p>Ainsi, que vous soyez un aventurier solitaire aux confins du monde réel ou un joueur intrépide dans les arcanes des casinos, souvenez-vous toujours que derrière le voile de l&rsquo;illusion se cache la vérité mathématique implacable. Et comme Geralt l&rsquo;a compris, parfois, la plus grande victoire réside dans la sagesse de savoir quand s&rsquo;éloigner de la table de jeu, laissant derrière soi les mirages éphémères pour embrasser une réalité plus stable. Celle de son bain.</p>								</div>
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					<h2 class="elementor-heading-title elementor-size-small">Credit: Netflix</h2>				</div>
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									<p>D. Chafaï, F. Malrieu, Recueil de modèles aléatoires, 2015.</p><p>T. Bodineaux, Modélisation de phénomènes aléatoires : introduction aux chaînes de Markov et aux martingales, 2015</p><p>M. Ledoux, The concentration of measure phenomenon, 2001</p><p>I, Stewart, Do dice play god?, 2019</p><p>R. Epstein, The Theory of Gambling and Statistical Logic (Revised ed.), 1995</p><p>J. L. Coolidge, The Gambler&rsquo;s Ruin. Annals of Mathematics. 10 (4): 181–192, 1909</p>								</div>
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		</div>
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												<span class="elementor-toggle-icon elementor-toggle-icon-left" aria-hidden="true">
															<span class="elementor-toggle-icon-closed"><i class="fas fa-caret-right"></i></span>
								<span class="elementor-toggle-icon-opened"><i class="elementor-toggle-icon-opened fas fa-caret-up"></i></span>
													</span>
												<a class="elementor-toggle-title" tabindex="0">Simulation Loi des Grands Nombres</a>
					</div>

					<div id="elementor-tab-content-1451" class="elementor-tab-content elementor-clearfix" data-tab="1" role="region" aria-labelledby="elementor-tab-title-1451">
<pre class="wp-block-code has-black-background-color has-background"><code class="language-python line-numbers" lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def simulate_biased_coin_tosses(n, p, num_trials):
    """
    Simulates multiple trials of biased coin tosses and plots the running average.
    
    Args:
        n (int): Number of coin tosses in each trial.
        p (float): Probability of getting heads (biased coin).
        num_trials (int): Number of trials to simulate.
    """
    results = []
    
    for _ in range(num_trials):
        coin_tosses = np.random.choice([0, 1], size=n, p=[1-p, p])
        running_average = np.cumsum(coin_tosses) / np.arange(1, n + 1)
        results.append(running_average)
    
    # Plot the results
    for i, running_average in enumerate(results):
        plt.plot(np.arange(1, n + 1), running_average, alpha=0.5)
    
    # Plot the theoretical expectation (p for a biased coin)
    plt.plot(np.arange(1, n + 1), np.full(n, p), color='red', linestyle='--', label='Theoretical Expectation')
    
    plt.xlabel('Number of Tosses')
    plt.ylabel('Running Average')
    plt.title('Law of Large Numbers Simulation (Balanced Coin)')
    plt.legend()
    plt.grid()
    plt.show()

# Parameters
n = 100000  # Number of coin tosses in each trial
p = 0.5  # Probability of getting heads (biased coin)
num_trials = 1  # Number of trials to simulate

# Perform the simulation and visualize the results
simulate_biased_coin_tosses(n, p, num_trials)

</code></pre>
</div>
				</div>
							<div class="elementor-toggle-item">
					<div id="elementor-tab-title-1452" class="elementor-tab-title" data-tab="2" role="button" aria-controls="elementor-tab-content-1452" aria-expanded="false">
												<span class="elementor-toggle-icon elementor-toggle-icon-left" aria-hidden="true">
															<span class="elementor-toggle-icon-closed"><i class="fas fa-caret-right"></i></span>
								<span class="elementor-toggle-icon-opened"><i class="elementor-toggle-icon-opened fas fa-caret-up"></i></span>
													</span>
												<a class="elementor-toggle-title" tabindex="0">Simulation Loi Binomiale</a>
					</div>

					<div id="elementor-tab-content-1452" class="elementor-tab-content elementor-clearfix" data-tab="2" role="region" aria-labelledby="elementor-tab-title-1452">
<pre class="wp-block-code has-black-background-color has-background"><code class="language-python line-numbers" lang="python">import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def simulate_binomial_distribution(n, p, num_trials):
    """
    Simulates multiple trials of a binomial distribution and plots the histogram of outcomes.
    
    Args:
        n (int): Number of trials in each binomial experiment.
        p (float): Probability of success in each trial.
        num_trials (int): Number of trials to simulate.
    """
    results = np.random.binomial(n, p, size=num_trials)
    
    # Plot the histogram of outcomes
    plt.hist(results, bins=np.arange(n + 1) - 0.5, density=True, alpha=0.7, edgecolor='black')
    
    # Plot the theoretical probability mass function
    x = np.arange(n + 1)
    y = np.array([np.math.comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k) for k in x])
    plt.plot(x, y, color='red', label='Theoretical Probability')
    
    plt.xlabel('Number of Successes')
    plt.ylabel('Probability')
    plt.title(f'Binomial Distribution (n={n}, p={p})')
    plt.legend()
    plt.grid()
    plt.show()

# Parameters
n =10  # Number of trials in each binomial experiment
p = 0.5  # Probability of success in each trial
num_trials = 100000  # Number of trials to simulate

# Perform the simulation and visualize the results
simulate_binomial_distribution(n, p, num_trials)
</code></pre>
</div>
				</div>
							<div class="elementor-toggle-item">
					<div id="elementor-tab-title-1453" class="elementor-tab-title" data-tab="3" role="button" aria-controls="elementor-tab-content-1453" aria-expanded="false">
												<span class="elementor-toggle-icon elementor-toggle-icon-left" aria-hidden="true">
															<span class="elementor-toggle-icon-closed"><i class="fas fa-caret-right"></i></span>
								<span class="elementor-toggle-icon-opened"><i class="elementor-toggle-icon-opened fas fa-caret-up"></i></span>
													</span>
												<a class="elementor-toggle-title" tabindex="0">Heatmap Concentration Gaussienne</a>
					</div>

					<div id="elementor-tab-content-1453" class="elementor-tab-content elementor-clearfix" data-tab="3" role="region" aria-labelledby="elementor-tab-title-1453">
<pre class="wp-block-code has-black-background-color has-background"><code class="language-python line-numbers" lang="python">
# Importing libraries
import numpy as np
import pandas as pd
import seaborn as sns
from scipy.stats import norm
import matplotlib.pyplot as plt

# Function to simulate coin toss
def coin_toss(n, deviation):
    coin = np.random.choice([0, 1], size=n)  # Simulating coin toss
    proportion = np.mean(coin)  # Calculating proportion of Heads
    concentration = 2 * np.exp(-2 * n * deviation**2)  # Calculating Gaussian concentration
    return proportion, concentration

# Parameters for simulation
n_values = [10, 20, 30, 40, 50, 75, 100, 500, 1000, 10000]
deviation_values = [0.01, 0.03, 0.05, 0.07, 0.1, 0.15, 0.2, 0.25, 0.3, 0.5]

# Simulation and calculation of Gaussian concentration for each combination of parameters
results = []
for n in n_values:
    row = []
    for deviation in deviation_values:
        proportion, concentration = coin_toss(n, deviation)
        row.append(concentration)
    results.append(row)

# Creating DataFrame from results
df = pd.DataFrame(results, columns=deviation_values, index=n_values)

# Displaying results as a table
print("Number of coin tosses\t", end="")
for deviation in deviation_values:
    print(f"Deviation {deviation}\t", end="")
print()
for i, n in enumerate(n_values):
    row_str = f"{n}\t\t"
    for j, deviation in enumerate(deviation_values):
        row_str += f"{results[i][j]:.3e}\t"
    print(row_str)

# Creating heatmap with Seaborn
plt.figure(figsize=(12, 8))
sns.heatmap(data=df, annot=True, cmap="Reds", fmt=".2e", cbar=True, cbar_kws={'label': 'Gaussian concentration'})
plt.xlabel("Deviation")
plt.ylabel("Number of coin tosses")
plt.title("Gaussian concentration as a function of the deviation and the number of coin tosses")
plt.show()


</code></pre>
</div>
				</div>
							<div class="elementor-toggle-item">
					<div id="elementor-tab-title-1454" class="elementor-tab-title" data-tab="4" role="button" aria-controls="elementor-tab-content-1454" aria-expanded="false">
												<span class="elementor-toggle-icon elementor-toggle-icon-left" aria-hidden="true">
															<span class="elementor-toggle-icon-closed"><i class="fas fa-caret-right"></i></span>
								<span class="elementor-toggle-icon-opened"><i class="elementor-toggle-icon-opened fas fa-caret-up"></i></span>
													</span>
												<a class="elementor-toggle-title" tabindex="0">Graphe Concentration Gaussienne</a>
					</div>

					<div id="elementor-tab-content-1454" class="elementor-tab-content elementor-clearfix" data-tab="4" role="region" aria-labelledby="elementor-tab-title-1454">
<pre class="wp-block-code has-black-background-color has-background"><code class="language-python line-numbers" lang="python">
# Importing libraries
import numpy as np
import pandas as pd
import seaborn as sns
from scipy.stats import norm
import matplotlib.pyplot as plt

# Function to simulate coin toss
def coin_toss(n, deviation):
    coin = np.random.choice([0, 1], size=n)  # Simulating coin toss
    proportion = np.mean(coin)  # Calculating proportion of Heads
    concentration = 2 * np.exp(-2 * n * deviation**2)  # Calculating Gaussian concentration
    return proportion, concentration

# Parameters for simulation
n_values = [10, 20, 30, 40, 100, 500, 1000]
deviation_values = [0.01, 0.03, 0.05, 0.1, 0.2]

# Simulation and calculation of Gaussian concentration for each combination of parameters
results = []
for n in n_values:
    row = []
    for deviation in deviation_values:
        proportion, concentration = coin_toss(n, deviation)
        row.append(concentration)
    results.append(row)

# Creating DataFrame from results
df = pd.DataFrame(results, columns=deviation_values, index=n_values)

# Displaying results as a table
print("Number of coin tosses\tDeviation 0.01\tDeviation 0.03\tDeviation 0.05\tDeviation 0.1\tDeviation 0.2")
for i, n in enumerate(n_values):
    row_str = f"{n}\t\t"
    for j, deviation in enumerate(deviation_values):
        row_str += f"{results[i][j]:.3e}\t"
    print(row_str)

# Creating the graph with Seaborn
sns.set(style="whitegrid")
plt.figure(figsize=(10, 6))
sns.lineplot(data=df, markers=True, dashes=False)
plt.xlabel("Number of coin tosses")
plt.ylabel("Gaussian concentration")
plt.title("Gaussian concentration as a function of the number of coin tosses and the deviation")
plt.legend(title="Deviation")
plt.show()



</code></pre>
</div>
				</div>
							<div class="elementor-toggle-item">
					<div id="elementor-tab-title-1455" class="elementor-tab-title" data-tab="5" role="button" aria-controls="elementor-tab-content-1455" aria-expanded="false">
												<span class="elementor-toggle-icon elementor-toggle-icon-left" aria-hidden="true">
															<span class="elementor-toggle-icon-closed"><i class="fas fa-caret-right"></i></span>
								<span class="elementor-toggle-icon-opened"><i class="elementor-toggle-icon-opened fas fa-caret-up"></i></span>
													</span>
												<a class="elementor-toggle-title" tabindex="0">Simulation Ruine du Joueur</a>
					</div>

					<div id="elementor-tab-content-1455" class="elementor-tab-content elementor-clearfix" data-tab="5" role="region" aria-labelledby="elementor-tab-title-1455">
<pre class="wp-block-code has-black-background-color has-background"><code class="language-python line-numbers" lang="python">

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def simulate_ruin(player_a_amount, player_b_amount, win_probability):
    """
    Simulates the ruin of two players in a gambling game and returns the number of rounds played.
    
    Args:
        player_a_amount (int): Initial amount of money for player A.
        player_b_amount (int): Initial amount of money for player B.
        win_probability (float): Probability of winning a bet.
        
    Returns:
        int: Number of rounds played until one of the players goes broke.
    """
    rounds = 0
    
    while player_a_amount > 0 and player_b_amount > 0:
        # Simulate a round of the game
        if np.random.rand() < win_probability:
            player_a_amount += 1  # Player A wins
            player_b_amount -= 1  # Player B loses
        else:
            player_a_amount -= 1  # Player A loses
            player_b_amount += 1  # Player B wins
        
        rounds += 1
    
    return rounds

def simulate_ruin_visual(player_a_amount, player_b_amount, win_probability):
    """
    Simulates the ruin of two players in a gambling game with a biased coin and visualizes the results.
    
    Args:
        player_a_amount (int): Initial amount of money for player A.
        player_b_amount (int): Initial amount of money for player B.
        win_probability (float): Probability of winning a bet.
    """
    player_a_history = [player_a_amount]
    player_b_history = [player_b_amount]
    rounds = 0
    
    while player_a_amount > 0 and player_b_amount > 0:
        # Simulate a round of the game with a biased coin
        if np.random.rand() < win_probability:
            player_a_amount += 1  # Player A wins
            player_b_amount -= 1  # Player B loses
        else:
            player_a_amount -= 1  # Player A loses
            player_b_amount += 1  # Player B wins
        
        rounds += 1
        player_a_history.append(player_a_amount)
        player_b_history.append(player_b_amount)
    
    # Plot the results
    plt.plot(player_a_history, label='Geralt fortune')
    plt.plot(player_b_history, label='Casino fortune')
    plt.xlabel('Rounds')
    plt.ylabel('Amount')
    plt.title('Players Ruin Simulation (Balanced Coin)')
    plt.legend()
    plt.grid()
    plt.show()

# Parameters
player_a_amount = 1000  # Initial amount of money for player A
player_b_amount = 1000  # Initial amount of money for player B
win_probability = 0.5  # Probability of winning a bet (balanced coin)

# Perform the simulation and get the number of rounds played
rounds_played = simulate_ruin(player_a_amount, player_b_amount, win_probability)
print("Number of rounds played:", rounds_played)

# Perform the simulation and visualize the results
simulate_ruin_visual(player_a_amount, player_b_amount, win_probability)




</code></pre>
</div>
				</div>
								</div>
						</div>
				</div>
					</div>
		</div>
					</div>
		</section>
				</div>
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